Oldd meg a prímszámok halmazán az x+7y+287z=2016 egyenletet. Megyei matekverseny (MATEGYE) 2015/2016 1. Forduló. Erre a példára van megoldás?

x=2^5*3^2*7-7*y-7*41*z =>7|x, x prím, ezért x=7.

Ekkor

1=288-y-41z

y=287-41z => z<287/41=7

Ha z=2, akkor y=205, nem prím

Ha z=3, akkor y=167, nem prím

Ha z=5, akkor y=82, nem prím

Nincs megoldás.

Írjuk fel az egyenletet ebben a formában: x+7y+7*41z = 7*288

ezt átrendezve: x = 7*(288-y-41z). Mivel x osztható 7-tel és prím, x = 7 kell hogy legyen.

Így 7y+287z = 2009, leosztunk 7-tel: y+41z = 287 = 41*7

Ezt megint átírjuk ilyen formába: y = 41*(7-z), y = 41*(egész szám) és prím vagyis y = 41.

Így azt kapjuk, hogy 7+7*41+287z = 2016

287z = 1722

z = 6 ami nem prím, nincs megoldás a prím számok halmazán.