Oldjuk meg az alábbi egyenletet a primszamok halmazán?

X^2-2y^2=1

x^2-1=2y^2

Ebből látszik, hogy x>y, mert a négyzete nagyjából a duplája. Kezdjük el próbálgatni:

X=2, y=1: 2^2-2*1^2=2 na, ez nem jó

x=3, y=2: 3^2-2*2^2=9-8=1 jé, ez stimmel

Amúgy az egyenlet kijön -3 és -2 értékekkel is, de mivel 20 éve érettségiztem, már nem emlékszem rá, hogy ezek prímszámok-e.

Jó az irány, csak rossz dolgok vannak benne. Azért, mert próbálgatással kijött valami eredmény, az nem jelenti azt, hogy más megoldás nem lehet.

Ha követjük az 1. válaszban megtett lépéseket, akkor a bal oldalt szorzattá tudjuk alakítani;

(x+1)*(x-1) = 2y^2

A jobb oldal biztosan osztható 2-vel, így a bal oldalnak is oszthatónak kell lennie vele, ez csak úgy lehet, hogyha x páratlan. Ha viszont x páratlan, akkor mindkét tényező páros, tehát a bal oldal 4-gyel osztható, így a jobb oldalnak is kell ezt tudni, ez viszont csak úgy lehet, hogyha y=2 (az y=-2 is jó, ez függ attól, hogy a feladat megengedi-e a negatív prímeket is), mivel egyedül a 2 páros és prím. Tehát a feladat ez lesz:

(x+1)*(x-1)=8, zárójelbontás után:

x^2-1=8, hozzáadunk 1-et:

x^2=9, erre pedig x=+-3 adódik, amik szintén prímek.

Tehát, ha negatív prímek is megengedettek, négyféle számpáros a megoldás; -3;-2, -3;2, 3;-2 és 3;2. Más megoldás nincs, mivel elemi összefüggésekre hivatkoztunk (2-vel való oszthatóság, stb.).

„Nem, nem emlékszem rá. Minek? Semmi jelentősége.”

Akkor felmerül a kérdés, hogy minek okoskodsz bele olyanba, amihez nem értesz... Hagyd olyanokra, akik tudják, hogy mit kell csinálni.

Nagyobb segítség, hogyha nem segítesz annál, mintha baromságot írnál.

„Azért nem lehet más megoldás, mert az egyik négyzete egyel nagyobb, mint a másik négyzetének a duplája. Vagyis nagyon alacsony számok között keresgélünk.”

Mese habbal.

Egyrészt én kapásból 4 megoldást találtam, szemben a te két megoldásoddal. Másrészt mik azok a „nagyon alacsony” számok? Mondjuk a 10 alattiak? Akkor azokat miért nem bogarásztad végig egyesével?