Geometriai bizonyítás?

Legyen az origó a súlypont, és legyenek az origóból (súlypontból) az A, B, C, P pontokba mutató helyvektorok a, b, c, p. Ekkor az origó választása miatt a+b+c=0.

A kérdéses kifejezés tehát

|PA|^2 + |PB|^2 + |PC|^2 =

= (p-a)^2 + (p-b)^2 + (p-c)^2 =

= 3p^2 + (a^2+b^2+c^2) - 2p(a+b+c) =

= 3p^2 + (a^2+b^2+c^2).

Az (a^2+b^2+c^2) értéke nyilván konstans, illetve a 3p^2 értéke pedig szintén konstans, mert a megfelelő P pontoknak az origótól (súlyponttól) vett távolsága ugyanannyi, hiszen ezek egy adott súlypont középpontú körön mozognak.

Hányadikos vagy?

Lehet például súlypontból indított vektorokkal számolni, kihasználva, hogy a súlypontból a csúcsokba mutató vektorok összege nullvektor és az, hogy a vektor skaláris négyzete egyenlő az abszolút értékének négyzetével. Ehhez 11. osztályosnak kell lenni.