Hogyan oldjuk meg ezt az egyenlőtlenséget?

Alapvetően egy tört értéke akkor kisebb 0, hogyha negatív, és akkor negatív, hogyha a szzámláló és a nevező előjele eltér, de nem 0. Ugyanez igaz a szorzat esetén is.

Tört értéke akkor 0, hogyha a számláló értéke 0, de a neveő értéke nem 0.

A legegyszerűbben úgy tudod megoldani, hogy felrajzolod a három kifejezést, tehát az x+4-et, a 2x-3-at és az x-2-t koordináta-rendszerben, és arról leolvasod, hogy melyiknek mikor milyen az előjele. Akkor vagy jó, hogyha egyszerre páratlan sok negatívat találsz, tehát ha vagy csak pontosan az egyik negatív, vagy mindhárom.

Mivel az egyenlőség megengedett, ezért az is megoldás lesz, amikor valamelyik értéke 0, de az x-2 nem lehet 0, mert akkor 0-val kellene osztani, ami nem működik, tehát az x=2 nem lesz megoldása az egyenlőtlenségnek.

Algebrailag így tudod megoldani; szorzol x-2-vel, de mivel ennek értéke lehet negatív és pozitív is, ezért ezt is figyelembe kell venni;

-ha x-2>0, tehát x>2, akkor nincs semmi gond, szorzás után az (x+4)*(2x-3)<=0 egyenlőtlenséget kapjuk, ezt pedig a tanult módon meg lehet oldani. Figyelni kell viszont arra, hogy az itt kapott megoldáshalmaznak csak a része jó, amelyikre x>2 is teljesül.

-ha x-2<0, tehát x<2, akkor az x-2 értéke negatív, így a vele való szorzásal MEGFORDUL a relációs jel, tehát az (x+4)*(2x-3)>0 egyenlőtlenséget kapjuk, ami szintén megoldható a tanult módon, de itt is igaznak kell lennie az x<2 egyenlőtlenségnek is.

A két számítással kapott megoldások halmazának unióját kell vennünk.

Egy tört értéke akkor negatív, ha a számláló és a nevező előjele különböző. Emiatt itt több esetet kell vizsgálni.

I. A nevező pozitív, a számláló negatív.

A számlálóban szorzat van, ami akkor lehet negatív, ha az egyik tényező negatív. Esetek:

1) x + 4 < 0 és 2x – 3 > 0 és x – 2 > 0

2) x + 4 > 0 és 2x – 3 < 0 és x – 2 > 0

II. A számláló pozitív, a nevező negatív.

A számlálóban szorzat van, ami akkor lehet pozitív, ha a két tényező előjeje megegyezik. Esetek:

1) x + 4 < 0 és 2x – 3 < 0 és x – 2 < 0

2) x + 4 > 0 és 2x – 3 > 0 és x – 2 < 0

III. Egy tört nevezője nem lehet 0, ezért x – 2 ≠ 0 => x ≠ 2

IV. Mivel az egyenlőtlenségben egyenlőség is megengedett, ezért azt is meg kell vizsgálni, hogy egy tört értéke mikor lehet nulla: ha a számláló nulla. Az akkor lehet nulla, ha a szorzat bármelyik tényezője nulla: x + 4 = 0 vagy 2x – 3 = 0.

Ezeket az eseteket végig kell zongorázni, majd az eredményeket összefésülni.

Tehát (x+4)*(2x-3)/(x-2)<=0 => x nem 2

A zérushelyek: 2, 3/2, -4.

Ezek négy részre bontják a valós számok halmazát. Ezeken vizsgáld a tényezők előjelét. Akkor lesz negatív, ha 1 vagy 3 tényező negatív.