Hogy oldjuk meg az alábbi trigonometrikus egyenlőtlenséget? tg (x) <=1/cos (x)

Nem muszáj mindent bemagolni, gondolkozz logikusan! Csak tg(x) = sin(x)/cos(x) azonosságot kell felhasználni, amiből kijön, hogy:

sin(x)/cos(x) <= 1/cos(x)

Ebből 3 dolog következik:

1. sin(x) <= 1, HA cos(x) pozitív.

2. -sin(x) <= -1, HA cos(x) negatív.

3. cos(x) = 0 nincs értelmezve.

Vegyük észre, hogy az 2. egyenlet csak akkor van értelmezve, amikor a 3. egyenlet nincs értelmezve. Tehát ezeket ki is húzhatjuk.

Az 1. egyenlet viszont minden x-re értelmezett, azaz a megoldás: cos(x) > 0

Ugye az azonosság felírásakor kijött, hogy:

sin(x)/cos(x) <= 1/cos(x)

cos(x) legyen most 1. Akkor teljesen egyértelmű, hogy kijön a sin(x) <= 1. Azonban, ha cos(x) az -1, akkor -sin(x) <= -1 jön ki, tehát fontos két esetre bontani.

Mivel cos(x)-el lehet egyszerűsíteni, ezért csak az előjel a fontos. Gondolom az zavar be, hogy cos(x)-et nem lehet elhagyni az egyenlőtlenségből csak úgy.

A biztonság kedvéért én adnék egy másik levezetést; vonjunk ki 1/cos(x)-et:

sin(x)/cos(x) - 1/cos(x) <= 0, most pedig emeljünk ki 1/cos(x)-et:

1/cos(x) * (sin(x) -1) <= 0

Egy kéttényezős szorzat akkor negatív, hogyha az előjelek eltérőek, tehát

vagy 1/cos(x)<0 és sin(x)-1>=0, és ezeknek keresed a közös megoldását.

vagy 1/cos(x)>0 és sin(x)-1<=0, és itt is a közösek kellenek.