Térfogat kiszámítása?

Sejtésem szerint ezt csak közelítőeszközökkel tudod csak kiszámítani; ha "vízszintesen", "kellően vékonyra" vágod a testet, akkor a test-részeket közelíteni tudod körszelet alapú csonkagúlákként, amiknek ki tudod számolni a térfogatukat.

De a térfogatot ki tudod számoltatni programmal is. Miért akarod kiszámolni?

Milyen számolási technikákat tanultatok? Mert ha tanultál integrálszámítást, akkor a felületet felírod függvényként, és a felület integrálja lesz a térfogat.

De ha megnézed, hogy a tested „alaplapjától” mérve milyen függvény alapján változnak az alaplappal párhuzamosan vett síkmetszetek területei, akkor a Cavalieri-elv jól használható. Ha véletlen lineáris lenne a változás (valószínűleg nem az lesz), akkor kúppal lehetne közelíteni.

Az viszont biztos, hogy rendelhető hozzá valamilyen forgástest, aminek a térfogata ugyanannyi. Én valahogy így kezdenék neki;

-Megnézném az előbb említett metszetek területváltozását (felírnám rá a függvényt), ezzel kapnék egy függvényt az alaplaptól való távolság függvényében. Annyi biztosan elmondható a függvényről, hogy folytonos lesz és szigorúan monoton csökkenő, amíg a csúcsig el nem jutunk.

-Azt akarnám elérni, hogy egy forgástest területéből tudjam kiszámolni a test térfogatát, tehát azt kellene megtudnom, hogy adott magasságban mekkora legyen a kör sugara, emiatt az előbb kapott függvényt osztanám pi-vel és az egészből gyököt vonnék, így kapnék egy függvényt a magasság függvényében a sugarakra.

-Az így kapott függvényt megforgatnám az x-tengely körül, és az ismert képlet alapján, integrálással kiszámolnám a térfogatot.

[link]

Ha összevetjük a lépéseket a képlettel, akkor igazából azt kapjuk, hogy a pi-vel osztás és gyökvonás fölösleges lépés volt, vagyis elég a területfüggvényt integrálni a térfogathoz.

A gond akkor lenne, hogyha valami nagyon rusnya függvényt kellene integrálni, de akkor is lehet közelítőmódszert használni.

Helyettesítéses integrál:

Tartomány: 0,03m sugarú körlap fele az x-y síkon.

Az y-tengely pozitív fele szelje ketté szimmetrikusan a tartományt.

Ekkor a függvény:

z = f(x,y) = 0,031/0,03*y (x-től független)

Helyettesítés (azaz a tartomány paraméterezése):

r eleme [0; 0,03]

a eleme [0; pí]

így:

x = r*cos(a)

y = r*sin(a)

Jacobi-determináns: (korrekciós tag a helyettesítés miatt):

|J|= r*cos^2(a) + r*sin^2(a) = r

Helyettesítéses integrál felírása:

Integrál(0;pí) { Integrál(0;0,03) { 0,031/0,03*(r*sin(a))*r} dr } da

Integrál(0;pí) { [0,031/0,03*(r^3)/3*sin(a)](0;0,03) } da

Integrál(0;pí) { 0,031/0,03*(0,03^3)/3*sin(a) } da

[-0,031/0,03*(0,03^3)/3*cos(a)](0;pí)

2*0,031/0,03*(0,03^3)/3

Tehát:

2/3*0,031*0,03^2 = 0,0000186 m^3 :)

Ha nem lenne világos a Jacobi mátrix dolog:

A fél körlap miatt borzalmas felírni az integrálás határait, így bijektíven megfeleltetjük a területet egy 0,03 x pí oldalú téglának:

x = r*cos(a)

y = r*sin(a)

Az x és y, mint egy vektor két komponense, lederiváljuk parciálisan "r" és "a" szerint, ez adja a Jacobi mátrix oszlopait:

| cos(a) -r*sin(a) |

| sin(a) r*cos(a) |

Remélem segítségedre voltam.

Ja és a lényeg lemaradt: figyeljük meg, hogy az eredmény nem függ pí-től:

2/3*m*r^2

annak ellenére, hogy a test a henger egy "ék-szelete" :)