Igaz-e, hogy bijektív páratlan függvény inverze páratlan függvény?

Igaz. Legyen f(x) egy bijektív páratlan függvény, ennek az inverze g(x).

A feltétel szerint minden x-re f(-x)=-f(x).

Azt kellene bebizonyítani, hogy minden x-re g(-x)=-g(x). Alkalmazni fogjuk mindkét oldalra az f függvényt. Mivel f injektív, ezért elég igazolni, hogy minden x-re

f(g(-x))=f(-g(x)).

A bal oldalon -x áll (hiszen f és g egymás inverze), a jobb oldal pedig f páratlansága miatt -f(g(x))=-x. Ezzel az állítást beláttuk.

Bijektív függvény inverze szintén függvény.(félpipa)

páratlan def.: f(x) = -f(-x)

g legyen az f inverze:g(f(x))=x

g(-f(x))=g(--f(-x))=-x

>> g(f(x))=-g(-f(x)) (pipa)

A páratlan függvény azt jelenti, hogy az origóra középpontosan szimmetrikus, az inverz azt jelenti, hogy az x=y egyenletű egyenesre tükrözzük szimmetrikusan, emiatt biztos, hogy a keletkező alakzat középpontosan szimmetrikus marad (csak kérdés, hogy hova kerül a középpont). Mivel ez a tükörtengely átmegy az origón, ezért a középpont marad ugyanott.

És mivel bijektív függvényről van szó, ezért a keletkező alakzat is függvény lesz.

Tehát páratlan bijektív függvény inverze is páratlan bijektív.

#3

Szép érvelés, jó, hogy beírtad. Én egyből "lealgebráztam".