Tudtok példát mondani bijektív, szürjektív, és injektív függvényekre?

Ugye ami bijektív az egyszerre injektív és szürjektív.

Szürjektív: a értékkészlet minden elemét oda rendeli valamilyen x-hez. (formálisan: f: A -> B szürjektív, ha minden b eleme B-re létezik a eleme A, hogy f(a)=b). A szürjekció nagyban függ attól, hogy mi a "B", amibe leképezünk. Jobb kérdés tehát, hogy milyen halmazon szürjektív egyes függvény. x^2k pl R->R+-n. log(x) pl. (0,végtelen) -> R-n. sin(x), cos(x) pedig R->[1,-1]-n. tan(x) R-re ráképez, ha legalább egy periódus benne van az értelmezés tartományban.

Injektív: ami mindenhez mást rendel (formálisan: f(x)=f(y) => x=y ). Injektívé tétel is viszonylag egyszerű tenni egy függvényt az A korlázotásával. Pl x^2 injektív R+->R-n. (R+->R+-n pedig bijektív tehát). e^x injektív R->R-n. sin(x) pl. (-pi/2, pi/2)-n injektív.

Érdemes még belegondolni R->R-n:

injektivítás: ha y tengelyre bárhogy állítunk merőlegest az a függvény csak egy pontban metszi. (ha y-t x-re cserélnénk, akkor a függvény tulajdonságot kapnánk)

szürjektív: ha merőlegesen levetítjük y-re a függvény pontjait, akkor magát a y tengelyt kapjuk (minden y-re merőleges metszi a függvényt)

bijektív: ha x és y tengelyt felcseréljük, akkor is függvényt kapunk (tehát fogjuk és átírjuk x és y-t, a papírt meg elforgatjuk).

Ezek néha hasznos absztrakciók, de azért érdemes a definiciókat ismerni.

Hát nem.

Azt is érdemes észrevenni, hogy egy függvény lehet egyik se. pl x^2 az R->R-n.

Igazából bár ezen tulajdonságok a függvények szempontjából is fontosak (pl. injektív függvény inverze is függvény), de sokszor inkább pont, hogy két halmaz közti összefüggések megállapítására használjuk fel.

Ha A->B létezik injektív leképezés, akkor |A|<=|B| (mert A egészét "bele lehet pakolni" B-be), ha létezik szürjektív leképezés, akkor |A|>=|B|, ha bijekció létezik, akkor pedig |A|=|B|. Nyilván véges halmazokra ez nem túl hasznos, de végtelen elemű halmazok esetén ez egy lehetséges definiálása az összehasonlításnak.