Algebrai lépések?

Ezt, hogy ha ismered a bináris számokat akkor könnyen megértheted.

Ha veszel egy p hosszú bináris számot, akkor azt veheted észre, hogy a szummás képlet ennek az összes számjegyét 1-re billenti.

Tehát ha a p mondjuk 6, akkor a szummás képlet a 111111 (=63) számot fogja eredményezni.

A 2^p az pedig egy p + 1 hosszú számot jelent, aminek csak az első bitje 1: 1000000 (=64). Ebből ha kivonsz egyet írásban (mint, amit a végső összevont alak is csinál) akkor pont 111111-et fogsz kapni a példában.

Úgy jön ki, hogy ez egy mértani sorozat. A mértani sorozat tagjait tudjuk összegezni, van rá képlet.

A képlet alapján a sorozat első tagja 1, a sorozat p tagból áll, kvóciense 2, így ezt tudjuk felírni:

1 * (2^p - 1)/(2-1), ami egyszerűbben 2^p - 1.