Absztrakt algebrából valaki segítene?

Legyen G a 12-edrendű, H pedig a 16-odrendű ciklikus csoport, és legyen f egy homomorfizmus G-ből H-ba.

A homomorfizmus annyit jelent, hogy a csoportművelet megőrződik, azaz tetszőleges G-beli g(1) és g(2) elemekre fennáll, hogy

f(g(1)*g(2))=f(g(1))*f(g(2)).

Legyenek a G ciklikus csoport (különböző) elemei g^0, g^1, ..., g^11, a H ciklikus csoport elemei pedig h^0, h^1, ..., h^15.

Nézzük meg, hogy mi lehet a g elemnek az f szerinti képe a H-ban. Ez nyilván h valamelyik hatványa, legyen mondjuk f(g)=h^k.

A g elem 12-edik hatványa a G-beli egységelem, aminek f szerinti képe biztosan a H-beli egységelem lesz. A homomorfizmus tulajdonságai miatt

h^(12k)=f(g)^12=f(g^12), tehát azt kaptuk, hogy h^(12k) a H-beli egységelem lesz. Ez viszont azzal ekvivalens, hogy 12k osztható 16-tal, azaz 3k osztható 4-gyel, tehát k osztható 4-gyel.

Így f(g) lehet h^0 (azaz a H-beli egységelem), h^4, h^8, h^12.

Még annyit kell észrevenni, hogy ez lényegében három különböző megoldás, mert tulajdonképpen a g-nek az f szerinti képe első-, másod-, illetve negyedrendű elem lehet.

A mag pedig azon elemek halmaza a G-ben, amiket a homomorfizmus a H-beli egységelembe visz (ezt meg kell nézni a három alapesetben).

Ha a csoportok rendjét cseréljük, az egész ugyanígy végignézhető.

Megjegyzés: az alábbi oldalakat ajánlom kiegészítésnek elolvasni:

[link]

[link]

Ha f(g) a H-beli egységelemmel egyenlő, akkor maga a G, mint halmaz a leképezés magja, hiszen minden G-beli elem képe a H-beli egységelem lesz.

Ha f(g)=h^4, akkor a mag elemei g^0 ,g^4, g^8, mert ezeket viszi a leképezés a H-beli egységelembe. Hasonló a helyzet abban az esetben, amikor f(g)=h^12.

Ha pedig f(g)=h^8 , akkor a maghoz tartozó elemek g^0, g^2, ..., g^10.

Szóval itt a magot ugyanúgy kell érteni, mint lineáris algebrában a magteret (ott azoknak a vektoroknak a halmazát jelenti, amiket a lineáris leképezés nullvektorba visz).

Ui: Remélem, nem írtam el semmit, és érted, mire gondolok.