Determináns és permutációk kapcsolata?
Ki tudok számolni determinánsokat, azzal nincs gond, viszont nem értem az összefüggést a determináns és a permutációk között. Egyszerűen nincs meg a kapocs. Itt van pl ez:
Ennek az elején ott van pl az a képlet, de azt sem igazán értem, hogy ezt hol használom, amikor kiszámolom a determinánst.
Valaki tudna segíteni ennek a megértésében? Köszönöm szépen.
Talán egy picit megvilágosodtam, de nem biztos. Szóval a permutáció megfelel egy függvénynek, ami 1-től n-ig hozzárendel ezekhez a számokhoz valamit. Ami ebben az esetben megfelel annak, hogy hányadik oszlopból hányadik elemet vettük úgy, hogy minden oszlopban és sorban csak egy elem szerepel. Egy lehetséges ilyen "összeállításnak" meg lehet feleltetni egy ilyen permutációt, amit én színessel írtam, aminek lesz egy előjele, ami az inverziószáma paritásától függ, és akkor ezek szerint összeadom őket. Ugye?
Na most ezt a fajta gondolatmenetet látom a Sarrus-szabályban meg a kifejtési tételben is, de ha Gauss-eliminációval akarom kiszámolni a determinánst, akkor abban már nem látom.
válasza:Gauss-eliminációval hogyan számolsz determinánst?
Nagy vonalakban igen, erről van szó. Gyakorlatilag egyébként ez a kifejtési tétel és sakktáblaszabály formális leírása, amit 4x4-es és ennél nagyobb négyzetes mátrixok esetén használunk. Bár ezt elvileg tudnod kell, mivel azt állítottad, hogy tudsz determinánsokat számolni.
Azonban valami azt sejteti velem, hogy a 2x2-es és 3x3-as mátrixok determinánsát ki tudod számolni, annál nagyobbra nem vagy gyakorlott.
válasza:Az alapdedinícióban erről a sakktáblás értelmezésről van szó, amit írtál is. Soronként haladva kiválasztunk egy-egy elemet úgy, hogy azok mind különböző oszlopokba essenek. Ez az oszlopokra nézve egy permutációt generál, aminek a paritása számít majd az előjelezésnél.
A poén az, hogy ha megcseréljük a sorok és az oszlopok szerepét (tehát ha oszloponként haladunk, és a sorokra nézve kapunk permutációkat), akkor ugyanazt az eredményt kapjuk a determinánsra nézve.
A kifejtési tételt már az előzőekből szokták bizonyítani (legalábbis a Freud-könyvben így van, de emlékeim szerint a régebbi könyvekben is hasonló a helyzet). Bár láttam olyat is, hogy valaki egyből a kifejtési tétellel vezette be a determinánsokat (az is egy lehetőség).
[link] így kell Gauss-szal
Nem tudom amúgy, annyira sok nagyobb determinánst nem számoltam ki, de ez pont olyannak tűnik, hogyha megcsinálok párat pl a kifejtési tétellel, akkor olyan nagy meglepetés nem érhet. Gondolom. Nem kell gondolkodni, csak fát vágni. Gondolom. :D Ezért is megy maga a mechanizmus, viszont az elméletet nem értettem.
Pl. volt egy ilyen házink: [link]
ez ment is, és ehhez a kifejtési tétel kellett (vagyhát úgy is lehetett csinálni), szóval szerintem az oké.
válasza:Igen, amit belinkeltél, az tipikus indukciós feladat. Ilyeneket találsz dögivel a Fagyejev-Szominszkij-féle gyűjteményben, ebből tudsz gyakorolgatni (magyarul is megjelent):
De azért nem annyira favágás, mert valamikor nehéz zárt képletet adni (ha egyáltalán van). Valamikor csak bizonyos tulajdonságai fontosak a determinánsnak, és nem a konkrét értéke (pl. előjel, vagy hogy nullától különböző-e). Nagyon hasznos tud lenni, ha valaki ügyesen használja.
Köszönöm szépen a válaszokat!
Tehát akkor a képletben ne keressem a Gauss-eliminációt, ugye?
válasza: válasza:Van olyan tétel, hogy a determináns értéke nem változik, ha egy sorhoz (vagy oszlophoz) hozzáadjuk egy másik sornak (vagy oszlopnak) valamilyen konstansszorosát.
Tehát Gauss-eliminációs lépésekkel tudsz bizonyos mátrixokban nagy "nullás blokkokat" generálni, ezáltal könnyen kiszámolható lesz a determináns értéke. De ez a gyakorlatban nem mindig lesz célravezető.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!