Valaki segítene megoldani az egyenlő együtthatók módszere matek feladatokat?

1. Vedd az egyik egyenletrendszert!

2. Találd ki, hogy melyik változót akarod kiejteni (legyen az y)!

3. A kisebbik abszolút értékű y-os együtthatóval rendelkező egyenlet minden tagját növeld annyiszorosára, hogy az y-os együttható az egyik egyenletben lévővel azonos abszolút értékű legyen!: +a az egyikben, a másikban -a legyen!

4. A két egyenletet összeadod.

5. x-et kiszámolod.

6. x-et visszahelyettesítve y-t kiszámolod.

Instrukció: Az 1. példában a 2. egyenlet minden tagját 5-szörösére emeled. A többi eset is hasonló.

Kicsit közérthetőbben;

A múltkor a kifejezéses módszerrel kellett megoldani a feladatot, aminek az volt a lényege, hogy x-et vagy y-t kifejezted a másik ismeretlen szerint, és behelyettesítettél. Ez egy általános módszer, a legtöbb (nem lineáris) egyenletrendszernél az használható is.

Vannak olyan egyenletrendszerek, amik azt igénylik, hogy "a két egyenleten" valamilyen műveletet végezzünk (ez nem pontosan igaz, de így tanítják, úgyhogy én is ezt a kifejezést fogom használni).

Kezdjük egy egyszerű példával; Annának 3 forintja, Borinak 5 forintja van. Hány forintjuk van összesen? Nyilván rávágod, hogy 8, és igazad is van. De nézzük, hogy ez matematikailag hogyan működik;

Anna pénzmennyisége: A=3 (forint)

Bori pénzmennyisége: B=5 (forint)

Anna és Bori összes pénze: A+B, és mivel A és B helyére be tudunk írni számokat, ezért A+B=3+5=8, tehát 8 forintjuk van összesen.

Másik kérdés; hány forinttal van több pénze Annának Borinál?

Matematikai válasz: A-B=5-3=2, tehát 2 forinttal.

Tehát nem történik más, mint amikor két valaminek vesszük az összegét vagy különbségét (A és B), akkor az azokkal egyenlőkön is elvégezzük a műveleteket (5 és 3), és nyilván a műveletek értékei is ugyanazok lesznek.

A matematika ezt így írja le: ha a=b és c=d, akkor a+c=b+d, a-c=b-d, illetve a@c=b@d, ahol a @ jel helyére bármilyen művelet definiálható.

Gyakorlatilag ezt a gondolatmenetet használjuk ki az egyenlő együtthatók módszere esetén.

Az első feladatnál megtehetjük azt, hogy a két egyenlet bal oldalán található kifejezéseket kivonjuk egymásból, ekkor ezt kapjuk:

(2x+5y)-(2x-y)

Viszont a 2x+5y értéke 1, a 2x-y értéke -5, így ezeket is kivonjuk egymásból:

1-(-5)

A fentiek értelmében ezek értéke meg kell, hogy egyezzen, tehát ezt az egyenletet kapjuk:

(2x+5y)-(2x-y) = 1-(-5)

Most felmerülhet a kérdés, hogy ez miért jó nekünk. Azért, mert ha elvégezzük a műveleteket, akkor csak egy ismeretlen marad; kibontjuk a zárójeleket:

2x+5y-2x+y = 1+5, összevonunk:

6y = 6, végül osztunk 6-tal:

y = 1, ezzel megkaptuk az egyik ismeretlen értékét.

Ugyanezzel a módszerrel x értéke is meghatározható, de ha valamelyik egyenletben y helyére beírjuk az 1-et, és végigszámoljuk, akkor úgy is megkapható a megoldás.

Nem mindig van ilyen szerencsénk, hogy egy egyszerű kivonással kiesik valamelyik ismeretlen. Például a 3)-asnál hiába adjuk össze vagy vonjuk ki, mindig marad x és y az egyenletben. Azonban azt már megtanultuk, hogy ha egy egyenletet szorzunk vagy osztunk egy 0-tól különböző számmal, akkor a keletkező egyenletnek ugyanazok lesznek a megoldásai (ezt ekvivalens átalakításnak hívjuk, de ezt még nem kell tudnod). Tehát megtehetjük, hogy valamelyik egyenletet, vagy szükség szerint mindkettőt addig szorozzuk, míg valamelyik ismeretlenből nem lesz ugyanannyi mindkét egyenletben, de az is lehet, hogy egymás ellentettjei a számok (például ha az egyikben 3y szerepel, a másikban (-3y), akkor ezeket összeadva 0 lesz az eredmény, tehát az y kiesik az összeadás hatására). A feladatban például megtehetjük azt, hogy az első egyenletet 2-vel szorozzuk, akkor ez lesz a feladat:

I. 8x+2y=-2

II. 8x-7y=-29

Ha itt felírjuk a bal oldalak különbségét, akkor x kiesik, így a kivonással keletkező egyenletben csak y lesz az ismeretlen, amit már meg lehet oldani.

I. 5x-2y=10

II. 2x+y=13

I. 5x-2y=10

II. 4x+2y=26