Hány olyan különböző, pozitív egészekből álló végtelen számtani sorozat létezik, melynek elemei a 24, a 744 és a 2844 is? (Két számtani sorozatot különbözőnek tekintünk, ha különböző a kezdőelemük vagy a differenciájuk.)

Nem kell más, csak fel kell írni, ahogy szoktuk;

a(n) = a(1) + (n-1)*d, ezt a képletet felírjuk a három lehetőségre; növekvő számtani sorozatokat keresünk, tehát d>0 megoldásokat:

1) 744 = 24 + (n-1)*d, kivonunk 24-et:

720 = (n-1)*d

Mivel két egész számot szorzunk össze, ezért a differencia osztója kell, hogy legyen a 720-nak. Ezeket akár fel is írhatnánk, de nem tesszük meg.

2) 2844 = 744 + (n-1)*d, kivonás után

2100 = (n-1)*d, ugyanaz a helyzet, mint az előbb, vagyis a 2100-nak osztója kell, hogy legyen a d.

3) 2844 = 24 + (n-1)*d, újból kivonunk:

2820 = (n-1)*d, így a differencia a 2820-at is osztania kell.

A következő lépés innen az lesz, hogy a fenti számok legnagyobb közös osztóját számoljuk ki, vagyis a (720;2100;2820)-at, ehhez felírjuk a prímtényezős felbontásaikat;

720 = 2^4 * 3^2 * 5

2100 = 2^2 * 3 * 5^2 * 7

2820 = 2^2 * 3 * 5 * 47

A tanultak alapján a három szám legnagyobb közös osztója a 2^2 * 3 * 5 = 60

Természetesen a legnagyobb közös osztó osztói is osztják a számokat, így már csak az a kérdés, hogy hány osztója van a 60-nak. Ennek a számnak akár manuálisan is össze lehet szedni az osztóit;

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60, tehát 12 osztója van. Ha a prímtényezős alakból indulunk ki, akkor (2+1)*(1+1)*(1+1)=12, tehát ugyanúgy 12-t kapunk.

Ez azt jelenti, hogy 12 növekvő számtani sorozat van. Csökkenőt úgy kapunk belőle, hogy egyszerűen megfordítjuk a tagok sorrendjét, így a differencia az ellentettjére változik. Tehát 24 számtani sorozat van, ami megfelel a feltételeknek.

24+n*d=2844

24+m*d=744

-------------

(n-m)*d=2100

d osztoja 2100-nak.

A kérdés most már az, hogy hány osztoja van 2100-nak. Ez már megy?

3-as; ez alapján d=2100 is lehetne, pedig az nem lesz jó.

Viszont én is elkövettem egy formai hibát; az 1)-ben, 2)-ben és 3)-ban a d azonos, viszont az n-ek nem azonosak, így azok helyett másik jelölést érdemes választani. Ettől függetlenül magában a levezetésben nincs hiba.

a+bx=24 ...

720=b*(y-x)=2*2*2*2*5*3*3

2820=b*(z-x)=2*2*5*3*47

->2*2*3*5

2, 12

3, 8

4, 6

5, 4

6, 4

12, 2

15, 1

20, 1

=38

Igazad van, ennyiből még nincs vége.

A differencia is csak pozitív lehet, így differencia szempontjából csak 12-féle sorozat van. Ezután meg kell nézni, hogy a 24, mint legkisebb elem a különböző differenciákkal mennyire csökkenthető;

-ha d=1, akkor a kezdőelemek lehetnek: 1,2,3,...,23,24, ez 24-féle sorozat.

-ha d=2, akkor a kezdőelemek lehetnek: 2,4,6,...,22,24, ez 12-féle sorozat.

-ha d=3, akkor a kezdőelemek lehetnek: 3,6,9,...,21,24, ez 8-féle sorozat.

-ha d=4, akkor a kezdőelemek lehetnek: 4,8,12,16,20,24, ez 6-féle sorozat.

-ha d=5, akkor a kezdőelemek lehetnek: 4,9,14,19,24, ez 5-féle sorozat.

-ha d=6, akkor a kezdőelemek lehetnek: 6,12,18,24, ez 4-féle sorozat.

-ha d=10, akkor a kezdőelemek lehetnek: 4,14,24, ez 3-féle sorozat.

-ha d=12, akkor a kezdőelemek lehetnek: 12,24, ez 2-féle sorozat.

-ha d=15, akkor a kezdőelemek lehetnek: 9,24, ez 2-féle sorozat.

-ha d=20, akkor a kezdőelemek lehetnek: 4,24, ez 2-féle sorozat.

-ha d=30 vagy d=60, akkor csak a 24 lehet a kezdőelem, összesen 2-féle sorozat.

Tehát 24+12+8+6+5+4+3+2+2+2+2=70-féle sorozat kreálható.