Határérték definíciója érthetően, egyszerűen?

Egy videón így magyaráztam el valakinek:

https://www.youtube.com/watch?v=GbUWxxi3rz4&t=490s

Egy sorozat határértéke az A szám, bármilyen környezetét tekinted A-nak, abból csak véges sok tagja marad ki a sorozatnak.

(Ez így van bármilyen kicsi sugarú környezet esetében. Ez azt is jelenti, hogy van olyan tagja a sorozatnak, ami után következő összes tag benne van ebben a környezetben.)

Bírom, hogy nincs egy épkézláb ember, aki el tudná magyarázni, akár példával és nem a tankönyvet büfögi vissza:D

Közben meg lemerem fogadni, hogy egy nagy nulla az egész.

Én most a konvergenssel voltam így, aztán jött egy videó és kb 10 másodperc alatt megértettem, mert nem semmirekellő módon magyarázták:D

Kész röhej!

3

A konvergens sorozat, és hogy van határértéke a sorozatnak,ekvivalens fogalmak.

Ha az a(n)=1/n sorozaton megérted a határértéket, akkor az összes többin is ugyanaz a helyzet.

Ha ábrázoljuk koordináta-rendszerben a sorozat tagjait, akkor azt látjuk, hogy 0-hoz egyre közelebb kerülnek a pontok, de a 0-t nem érik el. Intuitíve azt érezzük, hogy a 0 lesz a határérték (aztán lehet, hogy mégse az lesz, hanem a 0,000000000001 mondjuk, vagy valami "nagyon kicsi" irracionális szám), úgyhogy azt kellene belátni, hogy pontosan a 0-t közelíti meg "minden határon túl".

Rájöttek arra, hogy ha valóban 0-hoz konvergál ez a sorozat, akkor a 0 számtól szimmetrikusan kiválasztva egy számtartományt, vagyis intervallumot, egy idő után a sorozat tagjai beleesnek ebbe az intervallumba, és abból nem kerülnek ki. Például ha vesszük az ]0,5 ; -0,5[ intervallumot, akkor már a 3. tag beleesik a tartományba, ezt egyszerűen be tudjuk látni;

-0,5 < 1/n < 0,5

Az első egyenlőtlenség mindig teljesül, mert 1/n esetén pozitív számokat osztunk egymással, így hányadosuk is pozitív lesz. A másik egyenlőtlenség esetén 2<n adódik, vagyis n=3 lesz a legkisebb megoldása az egyenlőtlenségnek. A kérdés az, hogy ezt bármilyen tartomány esetén el tudjuk-e játszani, ezért általánosítunk; nézzük meg, hogy mi a helyzet a ]-ε;ε[ intervallumon (ε pozitív), ekkor az egyenlőtlenség:

-ε < 1/n < ε, az első egyenlőtlenség ugyanazon okból igaz lesz, mint az előbb, a második egyenlőtleségre 1/ε < n adódik, amiről látszik, hogy bármilyen ε esetén végtelen sok megoldása lesz. A legkisebb megoldást is meg tudjuk adni; n=[1/ε]+1, ahol a szögletes zárójel az úgynevezett alsó egészrészt (egészre lefelé kerekítést) jelenti; ha 1/ε egész, akkor [1/ε]=1/ε (egész számoknak ugyanaz az egészrészük), egyébként pedig kerekítünk és hozzáadunk 1-et.

Innen már tudjuk, hogy a sorozat többi tagja biztosan benne lesz a tartományban, ezért ezt a sorszámot stílszerűen küszöbindexnek szoktuk hívni. (Általában viszont nem tudjuk mindig a legkisebb sorszámot megkeresni, amire ez igaz, ezért azt szoktuk mondani, hogy minden sorszám jó küszöbindexnek, amiről egyértelműen kiderül, hogy attól kezdve a tagok mind benne lesznek a sorozatban).

De persze a sorozat tagjai nem csak 0-hoz "közeledhetnek", vagyis konvergálhatnak, hanem bármilyen másik számhoz is. Például vegyük az

a(n) = (2n^2+1)/n

sorozatot, erről azt sejthetjük, hogy 2-höz konvergál. Ha így van, akkor a ]2-ε;2+ε[ intervallumban egy adott tagtól kezdve az összes benne van, tehát

2-ε < (2n^2+1)/n < 2+ε, és ezt is meg tudjuk oldani.

Általánosan azt mondhatjuk, hogy ha van egy a(n) sorozat, amely az A számhoz konvergál (vagyis lim n->végtelen a(n) = A), akkor tetszőleges pozitív ε szám esetén létezik olyan N küszöbszám/küszöbindex, hogy az a(N), a(N+1), a(N+2), ... tagok már mind benne vannak az ]A-ε;A+ε[ intervallumban, vagyis

A-ε < a(n) < A+ε, ezt az egyenlőtlenséget át lehet alakítani egy kicsit ismerősebb alakra; kivonunk A-t:

-ε < a(n)-A < ε, ez pedig felírható így:

|a(n)-A| < ε, és ennek megoldáshalmaza (vagy a valódi megoldáshalmaz részhalmaza) n>=N.

Ha viszont ez nem teljesül (tehát végtelenbe vagy -végtelenbe tart, vagy pedig két érték között ugrál, mint például az a(n)=(-1)^n sorozat), akkor a sorozatot divergensnek nevezzük.

Sorozatok esetén csak a végtelenben van értelme vizsgálni a határértéket. Folytonos számhalmazon értelmezett függvények esetén lesz majd értelme belső határértékről is beszélni, abban az esetben gyakorlatilag ugyanez lesz a gondolatmenet alapja, csak 1 helyett két számtartományon kell vizsgálódni.

Na jó, de miért pont nulla a határérték?

Mindig egész számnak kell lennie?

Mert speciel ez se derül ki sehol, mindenhol nyomják ezt az N törtet és kész.

Én értem, hogy egyre közelít a nullához, de azt sose fogja elérni.

9 gondolj a 2 definícióra!

Negatív számok olyan környezetéből, aminek sugara kisebb az abszolút értéküknél, a sorozat összes tagja kimarad, így a negatív számok nem lehetnek határérték.

Pozitív számok olyan környezetéből, amelyek sugara kisebb náluk, a sorozat majdnem minden tagja kívül van, így azok sem lehetnek határérték.

A 0 pedig határérték.