Milyen maradékot ad 5-tel osztva a 5324^2000-2371^3000 kifejezés?

(5324^2000-2371^3000) mod 5 ≡ ((5320 + 4)^2000 - (2370 + 1)^3000) mod 5 ≡ ((-1)^2000 - 1^3000) mod 5 ≡ (1 - 1) mod 5 ≡ 0 mod 5

Vagyis a kifejezés osztható 5-tel.

Az 5324^1 utolsó számjegye 4.

Az 5324^2 utolsó számjegye 6. (gondolj arra, hogy 4*4=16, amiből a hatost írjuk le.

Az 5324^3 utolsó számjegye ismét 4. (mert az előbbi hatost néggyel szorozva 24-et kapunk, de ebből csak a 4-et írjuk le.

Vedd észre, hogy utolsó számjegyként a 4, 6, 4, 6, 4, 6 periodikusan ismétlődik. Páratlan kitevő esetén 4-re végződik, páros kitevő esetén 6-ra végződik. Mivel a 2000 páros kitevő, így ez a szám 6-ra végződik.

A 2371 minden pozitív egész hatványa 1-re végződik (1*1=1), ezért a 2371^3000 is 1-re végződik.

Összegzésképpen látható, hogy egy 6-ra végződő számból kivonunk egy 1-re végződő számot, tehát az eredmény 5-re fog végződni. Így 5-tel osztva 0 lesz a maradék.

5324 hatványainak ötös maradékai:

4, 1, 4, 1, ... => 5324^2000 ötös maradéka 1

2371 hatványainak ötös maradékai

1, 1, ... => 2374^3000 ötös maradéka 1

A különbség ötös maradéka 0.