Le tudná ezt valaki vezetni?

Az elsőnél a -1 a kitevőben van?

2. n=0-ra igaz.

n=1-re igaz.

n=2-re igaz.

Tegyük fel, hogy n-ig igaz. n+1-re

(2*(n+1))! osztható 2^(n+1)-nel

Úgy kellene sakkozni, hogy a (2n)! megjelenjen;

(2*(n+1))! = (2n+2)! = (2n+2)*(2n+1)*(2n)!

Az osztó át tudjuk írni 2*2^n alakra.

Az indukciós feltevés miatt a (2n)! osztható 2^n-nel, így már csak azt kell belátni, hogy a (2n+2)*(2n+1) osztható 2-vel, ez pedig egyrészt azért igaz, mert 2n+2=2*(n+1), ami osztható 2-vel, másrészt két egymást követő egész szám közül az egyik biztosan páros, így a szorzat biztosan páros lesz,l ami osztható 2-vel.

A ketteshez egy kis megjegyzés:

Az első 2n darab természetes számot szorozzuk össze, mivel minden monden második természetes szám osztható kettővel, így logikus, hogy (2n)!-ból kiemelhető 2^n.

Tehát, ha csak annyi a feladat, hogy ezt lássuk be, akkor a teljes indukció felesleges.

Vitatkoznék egy kicsit azzal, hogy "felesleges".

A matematikában nincs olyan, hogy felesleges bizonyítás. Olyan van, hogy az egyik egyszerűbb, mint a másik, de attól még a bonyolultabb nem válik feleslegessé. Ha pedig az a feladat, hogy teljes indukcióval kell bizonyítani, akkor hiába van egyszerűbb megoldás is.

Csak egy példát hozok fel; a Pitagorasz-tételnek van egy nagyon egyszerű és szemléletes bizonyítása, amit már az ókorban is ismertek. Ennek ellenére a Pitagorasz-tétel csúcstartó olyan szempontból, hogy százféle módon bizonyították már a matematika különböző területeiről. Mégsem mondjuk, hogy mindegyik felesleges.

Egyébként 1 esetet leszámítva valóban igazad van, a 2n tényezős szorzatban valóban van n darab páros, így 2-vel osztható tényező, így 2^n-nel osztható lesz a szorzat. Viszont az n=0 esetet külön meg kell vizsgálni ilyen szempontból, mivel a 0! nem az n!=n*(n-1)*...*1 szorzatnak tesz eleget.

#3 A felesleges pontosan úgy értettem, hogyha valamit bizonyíthatunk egyszerűbben és csak annyi a feladat, hogy bizonyítsuk, akkor jobb az egyszerűség.

Nyilván, ha teljes indukciós bizonyítást várnak el, akkor pedig azt kell.

A kérdésből pedig egyébként nem derült ki, hogy most a 0-t is természetes számnak vesszük-e és arra is kell-e bizonyítani, persze az sem volt írva, hogy nem kell, szóval...