Az egész számok halmaza megszámlálhatóan végtelen?

Az alábbi oldalról a vészhelyzet miatt letölthető egy könyv digitális változata:

[link]

Itt a halmazok fejezetben olvashatsz a témáról.

A lényeg az, hogy megszámlálhatóan végtelennek nevezzük azokat a halmazokat, melyeknek elemei párba állíthatók a pozitív egész számok halmazának elemeivel.

Megszámlálhatóan végtelen halmazok például a pozitív egész számok, természetes számok, egész számok, racionális számok.

Majd ha foglalkozol a végtelennel, látni fogod, hogy a végtelenekből is többféle van :)

Definíció szerint a természetes számok halmaza megszámlálható. Ennek az a lényege, hogy elemeit sorba lehet rendezni úgy, hogy bármelyik tagjának meg tudod mondani a sorszámát, és bármelyik sorszámot megkérdezve meg tudod mondani, hogy ott melyik szám áll. Triviális, hogy például az 123. szám a 123 (illetve 122, hogyha az első szám a 0), és a 245 a 245. (vagy 244.) szám.

Definíció szerint akkor mondjuk, hogy a végtelen elemszámú halmaz megszámlálható, hogyha kölcsönösen egyértelműen összepárosítható a természetes számok halmazábak elemeivel (vagyis minden számhoz pontosan egy sorszám mondható, és minden sorszámhoz pedig pontosan egy szám -ahogy ezt már fentebb írtam). A törtszámok ugyanígy felírhatók, igaz a turpisság az benne, hogy a törtszámok nem növekvő sorrendben követik egymást, de mégis „meg tudjuk őket számolni”.

Aztán vannak a megszámlálhatatlan végtelen halmazok, ahol ez nem játszható el. Ilyen például a valós számok halmaza.

Ha ezeket sikerült megemészteni, akkor lehet továbbmenni a többiféle végtelenre.