Valaki letudja vezetni ezt a feladatot?

Kezdjük azzal, hogy a kisebb szelet hosszát elnevezzük x-nek, ekkor a másik x+2 hosszú lesz.

A magasságtétel értelmében a magasság gyök(x*(x+2)) hosszú lesz.

A két kisebb derékszögű háromszögben fel tudjuk írni Pitagorasz tételét; mindkét esetben az átfogót kell kiszámolnunk;

-a kisebbik háromszög átfogója: gyök(x*(x+2)+x^2)

-a nagyobbik háromszög átfogója: gyök(x*(x+2)+(x+2)^2)

Ez a két átfogó a nagy háromszög két befogója. Ezeknek tudjuk az arányát, tehát ezt az egyenletet tudjuk felírni:

gyök(x*(x+2)+x^2) / gyök(x*(x+2)+(x+2)^2) = 2/3, itt érdemes négyzetre emelni:

(x*(x+2)+x^2) / (x*(x+2)+(x+2)^2) = 4/9, ebből rendezés után egy másodfokú egyenlet lesz.

Innen meg tudod oldani?

Legyen az egyik befogó 2x, a másik 3x.

Legyen az átfogó egyik szakasza c1, a másik (c1+2).

1. lépés: kiszámoljuk az átfogót.

(2x)² + (3x)² = c²

4x² + 9x² = c²

13 x² = c²

c = ngyök(13) x = 3,606 x

2. lépés: a befogótétel alapján:

2x = ngyök(c1 * 3,606 x), illetve

3x = ngyök((c1+2) * 3,606 x)

3. lépés: a két egyenlet összevonása

ngyök((c1+2) * 3,606 x) = 1,5 * ngyök(c1 * 3,606 x)

(c1+2) * 3,606 x = 2,25 * c1 * 3,606 x

c1 * 3,606 x + 2 * 3,606 x = 2,25 * c1 * 3,606 x

2 * 3,606 x = 1,25 * c1 * 3,606 x

7,211 x = 4,507 c1 * x

7,211 = 4,507 c1

c1 = 1,6

c = 1,6 + 1,6 + 2 = 5,2

4. lépés: 3,606 x = 5,2

x = 1,442

Innen már adja magát a két befogó.

Ááááá! Sokkal egyszerűbben is meg lehet oldani, mint ahogy csináltam. Ha berajzolod az átfogóhoz tartozó magasságvonalat, kapsz két háromszöget. Ezek és az eredeti háromszög hasonlók. Az átfogó rövidebb szakasza legyen c1, a hosszabbik c2, ami (c1+2).

Ekkor a magasságvonal hossza a hasonlóság miatt 1,5 c1.

A hasonlóság miatt: (c1+2) = 1,5 * 1,5 * c1

c1 + 2 = 2,25 c1

2 = 1,25 c1

c1 = 1,6, tehát cm = 2,4 és c2 = 3,6.

Innen Pithagorasz-tétellel ki udod számolni a befogókat.