F (x) =1/x^2 derivaltja?

Szerencsére ez a példa annyira egyszerű, hogy még differenciálni sem nehéz;

lim (x->x0) [(1/x^2 - 1/x0^2)/(x-x0)]

(1/x^2 - 1/x0^2)/(x-x0) =

= ((1/x - 1/x0)*(1/x + 1/x0))/(x-x0) =

= ((x0-x)/(x*x0))*(1/x + 1/x0)/(x-x0) =

= (-1/(x*x0))*(1/x + 1/x0), és ennek már tudjuk venni a határértékét:

lim (x->x0) [(1/(x*x0))*(1/x + 1/x0)] =

= -1/x^2*(2/x) =

= -2/x^3, ami átalakítható -2*x^(-3) alakra, tehát jó az eredmény.

Itt van egy csomó feladat a kérdésedre:

[link]

Ha azokat "elolvastad", akkor ezeket megnézed?

https://www.youtube.com/results?search_query=deriv%C3%A1lt

A derivált arra jó, hogy az érintő meredekségét megkapd egy adott pontban, és segítségével lehet számolni pl. szélsőértéket. Azaz optimumproblémáknál meg tudod mondani hogy mikor lesz gazdaságos az a folyamat, amelyet a felírt függvényed definiál.

Majd a későbbiekben lesz integrálszámítás, és differenciálegyenletek. A deriválás és integrálás haszna majd a diffegyenletekben fog megmutatkozni.

Ha ábrázolod egy koordináta-rendszerben a függvényt, akkor egy görbét kapsz. A görbéhez -jellegétől függően- pontjaiba érintő egyenes húzható. A derivált azt adja meg, hogy az adott pontjába húzható érintő egyenesnek milyen a meredeksége. A példádnál maradva, ha az x=1-hez tartozó ponthoz szeretnél érintőt húzni, akkor azt tudod kiolvasni, hogy annak meredeksége -2*1^(-3) = -2.

Szerencsére ennél többet is ki lehet olvasni a meredekség értékéből; sok esetben a függvény menete az érdekes számunkra, vagyis hogy adott pontjában éppen nő vagy csökken-e, és ennek megítélése az érintő meredekségéből megadható; ha pozitív, akkor nő a függvény, ha negatív, akkor csökken, ha pedig 0, akkor ott lehetnek érdekes dolgok, mint például abban a pontban lehet szélsőérték.