Egy 2dm sugarú körlemezből körcikket vágunk ki, majd a körcikkből tölcsért hajtunk (a kúp csúcspontja a kör középpontja legyen). Mekkora középponti szögű körcikk esetén lesz a keletkező kúp térfogata maximális?

Ha a körcikk középponti szöge 0°<Ł<360°, akkor a körív hossza 2*2*pi*Ł/360°=pi*Ł/90°. Ez a körív megegyezik a kúp alapkörének kerületével, ennek sugara legyen r, ekkor:

2*r*pi = pi*Ł/90°, erre r = Ł/180° adódik.

Értelemszerűen az alkotó megegyezik a körlemez sugarával, tehát 2 dm lesz. Így már minden adott, hogy meghatározzuk Ł függvényében a testmagasságot (M):

(Ł/180°)^2 + M^2 = 2^2, erre

M = gyök(4-(Ł/180°)^2) adódik.

A térfogatképlet szerint:

alapterület*magasság/3 = (Ł/180°)^2*pi*gyök(4-(Ł/180°)^2)/3

Mivel mindenhol (Ł/180°)^2 van, ezért ezt érdemes lecserélni egy másik ismeretlenre, mondjuk t-re:

t*pi*gyök(4-t)/3

Ennek kell a maximumát megtalálni. Ha ez megvan, akkor a maximum térfogat is. Érdemes t-t bevinni a gyökjel alá, így t^2*(4-t) maximumát keressük (értelemszerűen a gyökvonás, a *pi és a /3 nem befolyásolja a maximum helyét, csak az értékét), ami nem egy túl bonyolult történet.

Az eredményt dm^3-ben fogod megkapni.