Valaki elmagyarázná, hogyha egy f függyvény konvex, és differenciálható az I nyílt intervallumon, akkor derivált függvénye miért monoton növekvő I-n?

Kedves kérdező, a konvex függvény először csökken, aztán nő. A negatív meredekség kisebb, mint a pozitív, sőt, a nullánál is kisebb.

Ahol a meredekség negatív, ott a derivált is negatív. Ahol a meredekség nulla, ott a derivált nulla. Ahol a meredekség pozitív, ott a derivált is pozitív. Negatív számok közül a kisebb abszolútértékű a nagyobb.

A legegyszerűbb, hogyha veszel egy ilyen függvényt; például az x^2-et a (-1;1) intervallumon, ez nyilván konvex lesz. Ha deriválod, akkor 2x-et kapsz, ami szemlátomást (szigorúan) monoton növő. Egy esetet leszámítva az összes megfelelő függvénynél ez lesz a történet; ha vannak benne vízszintes szakaszok, akkor csak monoton növő lesz a deriváltfüggvény.

Az zavar meg téged, hogy az eredeti függvény csökken (ha csökken, mert nem kritérium), aztán nő, viszont a csökkenés mértéke egyre kisebb lesz, ami negatív számok esetén pont, hogy növekedés.

Az nem igaz, hogy a konvex függvény először csökken, és utána nő.

Például az f(x)=2^x függvény konvex és szigorúan monoton nő.

"Hát először lefele irányba megy."

Nem az számít, hanem hogy ez a lefelé irány merre változik. A képen az x1..x2 és az x3..x4 intervallumban is felfelé "kunkorodik". A derivált függvény azt adja meg, az adott x helyen mennyi volt az eredeti függvény meredeksége. Ez alapján az első intervallumban negatív lesz, a másodikban pozitív, de most nem ez a lényeg, hanem hogy mindkét helyen monoton növekszik.

Most nem találtam jobb ábrát:

[link]

A függvény lefelé tartó ágán a derivált függvény negatív, a felfelé tartó ágán pozitív, és valószínűleg ez zavar meg. De a lényeg, hogy a derivált függvény végig monoton növekszik. (Ezért van, hogy a második derivált végig pozitív lesz.)