Matek feladat,11. osztály, trigonometria, szinusz koszinusz tétel, valaki?

r-t kell kiszámolni. r=2T/a+b+c

Területet jelen esetben legegyszerűbben a heron képlettel kapod meg

A háromszög köré írt körének(R) sugarát keresi a feladat.

Erre vonatkozó tétel: R=(abc)/(4T), ahol T a háromszög területe, ami a Heron-képlettel számolható ( [link] ).

Az a, b és c az adott adatok, a háromszög oldalai.

Mivelhogy szinusz-koszinusz a témakör, ezért ezzel kellene operálni.

Első körben számoljuk ki a háromszög egyik szögét (de akár ki lehet számolni mindhármat, csak az ellenőrzés kedvéért). Most a legnagyobb szöget számolom ki, ami a 20 km-es oldallal szemközt van (ez legyen gamma):

20^2 = 12^2 + 14^2 - 2*12*14*cos(gamma)

Erre gamma=~100,28656° adódik.

A másik két szögre a koszinusztétel:

12^2 = 14^2 + 20^2 - 2*14*20*cos(alfa), erre alfa=36,18229°

14^2 = 12^2 + 20^2 - 2*12*20*cos(béta), erre béta=43,53115°

Ha megnézed a függvénytáblát, azon belül is a szinusztétel részt, akkor ott találhatsz egy olyat, hogy

R = a/sin(alfa) = b/sin(béta) = c/sin(gamma), vagyis a háromszög köréírható körének sugarát úgy is megkaphatod, hogy veszed az oldal és az oldallal szemközti szög szinuszának hányadosát; ha megnézed, mindegyikre 20,3267 körüli értéket kapsz, tehát ennyi km-re lesz mindegyiktől a torony. Ez a tétel egyébként a kerületi és középponti szögek tételéből jön ki, tehát azt felhasználva is el lehet jutni erre az eredményre.

Ebből egyébként a legpontosabb eredményt úgy lehet megkapni, hogy nem konkrétan a szöget számoljuk ki, csak a szögnek a koszinuszát, amiből kiszámolható a szög szinusza a sin^2(x)+cos^2(x)=1 azonosság felhasználásával.