Segítséget kérnék az alábbi zárójel felbontásban. Valaki tud segíteni? (X+Y) ^4

Alapvetően az (x+y)^4 mit jelent? A hatványozás definíciója szerint azt, hogy (x+y)*(x+y)*(x+y)*(x+y)

Koncentráljunk csak az első két szorzásra:

(x+y)*(x+y)

A tanultak szerint az ilyen szorzást úgy végezzük el, hogy a létező összes párosításban összeszorozzuk a zároljelben lévő tagokat, így ezt kapjuk:

x*x + x*y + y*x + y*y, ahol x*y=y*x, így egyszerűbb alakban is felírható:

x^2 + 2*x*y + y^2

Tehát most itt tartunk:

(x^2+2xy+y^2)*(x+y)*(x+y)

Most el lehet végezni a soron következő szorzást is, de tudjuk, hogy a szorzásban a műveletek tetszőleges sorrendben elvégezhetőek (mivel kommutatív és asszociatív művelet), így érdemesebb előbb a másik két x+y kifejezést összeszorozni, így kapjuk:

(x^2+2xy+y^2)*(x^2+2xy+y^2)

Itt a beszorzást ugyanúgy elvégezhetjük, mint fent; tagonként szorzunk:

x^2*x^2 + x^2*2xy + x^2*y^2 + 2xy*x^2 + 2xy*2xy + 2xy*y^2 + y^2*x^2 + y^2*2xy + y^2*y^2

A megfelelő átalakítások után az első válaszban leírt eredményt kapjuk.

Kérdés, hogy az ilyen kibontásokat el lehet-e végezni egy lépésben. A válasz az, hogy igen, ehhez a binomiális tételt kell használni:

[link]

Ha ennek értelmezésében van szükséged segítségre, szólj bátran! Nem olyan bonyolult, mint az elsőre látszik.

Illetve a másik lehetőség a Pascal-háromszög hasznlata:

[link]

Itt a számok a kibontás utáni tagok együtthatóit adják meg. Mivel most a 4. hatványnál vagyunk, ezért a negyedik sor elemeit érdemes megnézni (ami valójában az 5. sor - ez azért van, mert a sorok számozását nem 1-gyel, hanem 0-val kezdik). A tagokat pedig úgy írjuk fel balról jobbra, hogy a zárójelben lévő kifejezés (x) legnagyobb hatványát vesszük (ahányadikra emelve van a kifejezés), majd úgy képezzük a szorzatokat, hogy 1-gyel csökkentjük az első tag hatványát, a másodikét pedig 1-gyel növeljük mindaddig, amíg a másik tag legnagyobb hatványához nem jutunk.

Hogy értsd; (x+y)^4 esetén x^4-nel kezdünk:

()x^4 + ()x^3*y + ()x^2*y^2 + ()x*y^3 + ()y^4

A zárójelek helyére jönnek a számok a Pascal háromszög negyedik sorából:

1x^4 + 4x^3*y + 6x^2*y^2 + 4x*y^3 + 1y^4

A Pascal-háromszög nagy hátránya, hogy ha például (x+y)^100 lenne a kérdés, akkor fel kellene írni a 100. sorig az egészet, viszont kis kitevők esetén egész jól működik.