Adott H{1,2,3,4.20} halmaz. Hány olyan legalább 2 elemű részhalmaza van H-nak, melyben az elemek szorzata: a. ) 5-re végződik b. ) 5-tel osztható?

a) Ha 5-re végződik, akkor nem lehet páros, tehát páros szorzótényezője nem lehet, így pakoljuk ki a páros számokat, így marad: {1;3;5;7;9;11;13;15;17;19}

5-re csak úgy tud végződni, hogyha 5-tel osztható páratlan szám található a szorzótényezői között. Ennek megfelelően szedjük szét két halmazra a kapott halmazt: {1;3;7;9;11;13;17;19} és {5;15}

A szorzatba az 5-nek és a 15-nek (vagy mindkettőnek) be kell kerülnie, ennek megfelelően három esetet tududnk megkülönböztetni:

1. eset: az 5-ös benne van, a 15-ös nincs, ekkor az 5-ös mellé kell választanunk a másik halmazból legalább egy számot úgy, hogy a választott számok sorrendje nem számít. A választhatóság száma pont megegyezik a halmaz részhalmazainak számosságával, leszámítva az üreshalmazt. Tudjuk, hogy egy n elemű halmaznak 2^n darab részhalmaza van, így a fenti halmaznak 2^8=256 részhalmaza van, ebből le kell vonni az üreshalmazt, tehát 255-féle részhalmazt tudtunk megszámolni. Tehát 255-féle olyan szorzat van, amely az 5-öt tartalmazza, de a 15-öt nem.

2. eset: a 15-ös benne van, az 5-ös nincs. Nem meglepő módon itt is 255-féle lehetőséget találunk.

3. eset: mindkettő benne van. Ebben az esetben 256-féle lehetőség lesz, mivel a két számhoz nem muszáj egy harmadikat választani (így lehet az üres halmazt is, ezért azt nem kell levonni).

Mivel minden esetben különböző felállásokat számoltunk meg, ezért össze lehet őket adni, így 255+255+256=766 esetben fog a szorzat 5-re végződni.

A b) részt hasonló metódussal végig lehet számolni. Értelmeszerűen az a)-ban kiszámoltakat is fel kell használni.