Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A (2,3), B (0, -1) és C (3, a). Hat. Meg a valós számot, ú. h. A, B, C kollineárisak (egy egyenesen) legyenek. Hogyan?

Nem tudom mi számít neked "normálvektoros megoldásnak", de:

AB vektor: (-2, -4). Ebből felírjuk az A és B pontokon átmenő egyenes egyenletét: n(-4, 2); P0(2, 3)

így: 2x-y=1

Kifejezzük az y-t (iránytényezős egyenlet, y=mx+b)

y=2x-1

Mivel kollineárisak, így ezen az egyenesen helyezkedik el a C pont, amelynek az x koordinátája adott, így behelyettesítünk:

y=2*(3)-1, amiből y=a=5.

Nyilván a "normálvektoros megoldás" olyan megoldás, amilyen normálvektort használ fel...

Ha a három pont kollineáris, akkor vagy fektethető rájuk egy lineáris egyenlet, amelynek általános alakja y=m*x+b, ahol m a függvény meredeksége (ami azt jelenti, hogy ha az x helyére kerülő számot 1-gyel növeljük, akkor mennyivel változik a függvényérték), vagy az egyenes merőleges az x-tengelyre, ekkor pedig x=c alakban keressük az egyenest. Látható, hogy az A és B pontok nem olyan egyenest határoznak meg, mely merőleges lenne az x-tengelyre, így marad az első eset.

Általában az egyenes meredekségének megállapításával szoktuk kezdeni, aztán a tengelymeteszetet számoljuk ki, viszont most a tengelymetszet értéke adott, ami a -1 (mivel a B pont rajta van az y-tengelyen), ezért y=mx-1 alakban keressük a lineáris függvényt. Ebbe írjuk be az A pont koordinátáit:

3=m*2-1, erre 2=m adódik, tehát a keresett lineáris függvény az y=2x-1. Ebbe írjuk be a C pont koordinátáit:

a=2*3-1=5, tehát a=5, így a keresett szám az 5 lesz.

_____

Ha a meredekséggel kezdtük volna, akkor azt vegyük észre, hogy míg 0-ról 2-re, így 2-vel módosítottuk x-et, addig a függvényérték (-1)-ről 3-ra váltott, vagyis 4-gyel változott. Ezt azt jelenti, hogy ha csak 1-et lépnénk, akkor 4/2=2-vel változna a függvényérték, tehát a meredekség 2, így y=2x+b alakban keressük a függvényünket. Ebből b értéke úgy kapható meg, hogy az egyik pont koordinátáit beírjuk, és kiszámoljuk b értékét.

_____

Ha még mindig arra hajtunk, hogy előbb a lineáris egyenletet határozzuk meg, és a meredekséggel számolással nem vagyunk tisztában, akkor kiszámolható egyenletrendszerből is; még mindig y=mx+b alakban keressük a függvényt. Írjuk be az A és B pont koordinátáit:

3=m*2+b

-1=m*0+b

Ha ebből nem kapnánk meg automatikusan b értékét, akkor a legegyszerűbb eljárás az lenne, hogy az egyenletek azonos oldalait kivonnánk egymásból, így maradna

4=2m, amire 2=m adódna, majd visszahelyettesítéssel számolnánk ki b értékét.

Természetesen a jól megszokott kifejezéses módszerrel is számolható az egyenletrendszer.

_____

(Irány)vektorokkal is lehet számolni; tudjuk, hogy ha az egyik vektor a másiknak skalárszorosa, vagyis v1=c*v2, ahol c konstans (szám), akkor a két vektor párhuzamos egymással (az egyik a másiknak a megnyúltja). Írjunk fel két vektort:

AB = (-2 ; -4)

AC = (1 ; a-3)

A fentiek értelmében annak kell teljesülnie, hogy

AB = c*AC, vagyis

(-2 ; -4) = c*(1 ; a-3)

Akárcsak a zárójelbontásnál, skalárral való szorzásnál a kinti számmal beszorzunk mindenkit:

(-2 ; -4) = (c ; a*c-3*c)

Ennek a kettőnek kell egyenlőnek lennie. Két vektor akkor egyenlő, hogyha koordinátáik megegyeznek, így:

-2 = c

-4 = a*c-3*c

Ezek egyenletrendszert alkotnak. Szerencsére a c=-2 már az első sorból kijön, így azzal nem kell vesződnünk, csak be kell írni a másik egyenletbe:

-4 = a*(-2)-3*(-2), amire a=5 adódik.

_____

A pontok távolságából is meghatározható. Számoljuk ki a három pont által meghatározott három szakasz távolságát:

|AB| = gyök(20)

|AC| = gyök(1+(a-3)^2)

|BC| = gyök(9+(a+1)^2)

Értelemszerűen a leghosszabb szakasz a BC-nek kell lennie, mivel ott az első koordináták különbsége a legnagyobb (vagyis a legnagyobb távolság azok között van). Ha kollineárisak ezek a szakaszok, akkor a két kisebb összege a nagyobbikat kell kiadja, tehát:

gyök(20) + gyök(1+(a-3)^2) = gyök(9+(a+1)^2)

Ebből az egyenletből is kijön az eredmény, csak sokkal több számolással.