Határozd meg a cox2x-|cosx| kifejezés legkisebb és legnagyobb értékét!?

A függvény első deriváltja f'(x)=-4sin(x)cos(x)+sin(x) ha x -pi/2 és pi/2 között van (radiánban), pi/2 és 3/2pi között pedig f'(x)=-4sin(x)cos(x)-sin(x) Ez a ciklus ismétlődik. A függvény szélsőértékeire azok a pontok esélyesek, ahol az első derivált 0. Ebben az esetben ezek valóban azok is:

x=0 (illetve k*pi) esetén globális maximumot találsz, ahol f(x)=0

arccos(+/- 1/4) + k*pi-nél pedig globális minimumot, itt f(x)=-9/8

Jah akkor jó. Egyébiránt nem feltétlen kell ide deriválás, ez sima középszintű példa. Lehet, a kérdező nem is tud deriválni... A függvény periodikus, így elég vizsgálni az x>=0 féltért. Tekintsük az 0<=x<=pi/2 intervallumot.

Mivel ekkor |cosx|=cosx, ezért elegendő az f(x)=cos(2x)-cosx függvényt vizsgálni.

Felhasználva a cos(2x)=(cosx)^2-(sinx)^2 trigonometriai azonosságot kapjuk hogy f(x)=(cosx)^2-(sinx)^2-cosx.

Ezt felírhatjuk az alábbi módon is:

f(x)=-(sinx)^2-(cosx)^2+2*(cosx)^2-cosx. Rögtön észrevesszük, hogy a (sinx)^2+(cosx)^2=1 trigonometrikus Pitagorasz tétel használható, így

f(x)=2*(cosx)^2-cosx-1 adódik. Most teljes négyzetté alakítjuk ezt, hiszen az rutinművelet:

f(x)=(gyök2*cosx-gyök2/4)^2-9/8.

Ennek a minimuma akkor áll elő, ha a négyzetes tag zérus. Még csak x értékét meg sem kell határozni, hiszen közvetlen leolvasható hogy -9/8 lesz a minimum.

Tehát nem kellett deriválni. Hasonlóan működik a módszer a maximum megkeresésére, csak ott a pi/2<=x<=pi esetet vizsgáljuk, és f(x)=cos(2x)+cosx a vizsgálandó függvény.

Na ehhez mit szóltok?