Hogyan kell ezt a kilencedikes matematika feladatot megoldani?

2*a^2+2*b^2=5*a*b osztasz kettővel

a^2+b^2=2,5*a*b kivon 2*a*b-t

a^2-2*a*b+b^2=0,5*a*b baloldalon nevezetes azonosság van

(a-b)^2=0,5*a*b gyököt vonsz feltételezve hogy a>b>0

a-b=gyök alatt(0,5*a*b)

a^2+b^2=2,5*a*b hozzáadsz 2*a*b-t

a^2+2*a*b+b^2=4,5*a*b nevezetes azonosság a bal oldalon

(a+b)^2=4,5*a*b gyököt vonsz

a+b=gyök alatt(4,5*a*b)

(a+b)/(a-b) = gyök(4,5*a*b)/gyök(0,5*a*b) =gyök(9)=3

Az egyik feltétel egy másodfokú egyenlőség, amiből b-t kifejezhetjük a másodfokú egyenlet megoldóképletével (ha még nem volt, akkor teljes négyzetté alakítással, lásd a megoldóképlet levezetését).

2*b^2 – 5*a*b + 2*a^2 = 0,

b12 = (5*a ± gyök(25*a^2 – 4*2*2*a^2))/(2*2) = 5*a/4 ± 3*a/4,

b1 = 2*a,

b2 = a/2.

A b2-re nem teljesül az a feltétel, hogy a > b2, mert 0 > a > b, azaz negatív számokról van szó, így b2 = a/2 > a. Ezért a feltételekből egyértelműen adódik, hogy b = 2*a. Ezt helyettesítve a kifejezésbe

(a + 2*a)/(a – 2*a) = 3*a/(–a) = –3.

Szóval –3 (azaz MÍNUSZ HÁROM) lesz a kifejezés értéke. (Már ha a kérdező nem írta el a feladatot, és én is jól számoltam.)

Illetve – hogy a második bekezdésem kicsit átláthatóbb legyen:

Van 2 változónk, és 3 feltételünk:

I. 2*a^2 + 2*b^2 = 5*a*b,

II. 0 > a,

III. a > b.

Az I. feltételt b-re megoldva azt kapjuk, hogy b = 2*a VAGY b = a/2.

b = a/2-t helyettesítve a III. feltételbe

a > a/2 --> a/2 > 0 --> a > 0,

ami ellentmond a II. feltételnek, tehát nem lehet.

b = 2*a-t helyettesítve

a > 2*a --> 0 > a,

tehát ekkor a II. feltétel is teljesül, így egyértelműen kapjuk, hogy

b = 2*a.

Ezt a kérdéses kifejezésbe helyettesítve –3 lesz az eredmény.

(De az is sokat segít a második bekezdésemen, ha az első mondat végére odaírjuk, hogy „ami ellentmondás”.)