Binér relációk leszűkítése/kiterjesztése?

egy "osztója" relációnál fennállhat az, hogy x|y és x|z ahol x nem egyenlő z, pl 3|6 és 3|9. A függvényeknél viszont ha AxB-n értelmezzük, akkor minden a∈A elemre legfeljebb 1 b∈B elem tartozhat. Magyarul a függvény minden bemeneti elemre legfeljebb 1 kimeneti elemet ad (vagy egyet sem, ha az adott elemre nincs értelmezve). Továbbá a függvények saját jelöléssel bírnak, most már nem azt fogjuk mondani, hogy aRb, hanem f(a)=b, azaz az f függvény (reláció) a helyen felvett értéke b. Ez kicsit áthelyezi a hangsúlyt,a relációknál a hangsúly azon volt, hogy van-e reláció két elem között, illetve mely két elem között létezik reláció, a függvényeknél már leginkább azt nézzük, hogy az "a" elem-hez milyen "b" társul f szerint. Ugyanígy nem azt mondjuk, hogy f részhalmaza AxB, hanem f∈A->B illetve f:A->B. Az f∈A->B jelölés azt jelenti, hogy f A-beli elemekre van értelmezve, nem feltétlenül az egész A halmazra, és B-beli elemeket ad értékül. Az f:A->B jelölés ugyanakkor azt jelenti, hogy f MINDEN A-beli elemre értelmezve van, és B-beli elemeket ad eredményül (nem feltétlenül mindet).

Pl: f∈N->Q, f(x)=1/x esetben x természetes szám lehet, míg 1/x racionális, viszont nem feltétlenül van f minden x∈N-re értelmezve, például x=0 esetében 1/0 lenne, nullával osztás meg nincs értelmezve. Tehát itt Df részhalmaza N-nek, de nem feltétlenül egyenlő vele. (Df az f értelmezési tartomány - ahonnan az x-ek kerülnek ki)

Ha viszont azt mondjuk, hogy f:N->Q f(x)=1/x, akkor ez egy hibás függvénydefiníció, mert ez azt jelenti, hogy MINDEN x∈N-re értelmezve kell legyen f, de x=0-ra mint tudjuk, nem értelmezhető. Itt Df-nek egyenlőnek kell lennie N-el.

És akkor a képről: A függvény (vagy halmaz) képe kicsit a leszűkítéshez hasonlít, csak függvényekre értelmezve.

Adott egy f∈A->B függvény, és egy H halmaz, ami részhalmaza A-nak. Akkor az H halmaz f szerinti képe azon f(x) értékek halmaza, amelyekre x∈H∩Df, tehát x eleme H-nak és f értelmezési tartományának is (fontos mindkettőt kimondani, mert attól, hogy valami eleme H-nak, még nem biztos, hogy eleme Df-nek is, mivel f∈A->B nem f:A->B). Az így kapott értékek részhalmazát alkotják Rf-nek (f értékkészlete), ami pedig részhalmaza B-nek.

Formálisan: f[H]={f(x) | x∈H∩Df}⊆ Rf ⊆ B

Tehát f[H], avagy a H halmaz f általi képe azokat az értékeket tartalmazza, amit f H-ból tud képezni.

Inverzkép, más néven őskép ennek a megfordítása. továbbra is f∈A->B, de itt nem egy H⊆A halmazt adunk meg, hanem egy H⊆B halmazt, és a H halmaz f által létesített ősképén azokat az x∈Df elemeket értjük, amikre f(x)∈H. Tehát itt nem a H-ból, hanem a H-ba képzünk az f függvénnyel, és az ősképpel azokat az elemeket kapjuk meg, amikből az f H-ba tud képezni.

Formálisan: f^(-1)[H]={x∈Df | f(x)∈H}⊆ Df ⊆ A

Természetesen itt sem garantált, hogy H minden elemébe képezni tud az f függvény, mivel Rf nem (feltétlenül) egyenlő B-vel.

Röviden-tömören:

- H halmaz f szerinti KÉPE: ahova f H-ból tud képezni.

- H halmaz f szerinti ŐSKÉPE: ahonnan f H-ba tud képezni.

Fontos, hogy ha f∈A->B, akkor az A és B halmazokból semmiképp nem lépünk ki, minden x∈A és minden f(x)∈B képben és ősképben IS.

Remélem így érthetőbb a történet, kicsit hosszúra sikeredtek az irományok.. bocsi :D