Függvény leszűkítése!?

Ha jól értem, akkor

f(x)=x^2, ahol x€R és

A(x)=x^2, ahol x€(R-nek valami részhalmaza).

a) Ha az A(x) függvény értékkészlete egyelemű, akkor azt 1 elemmel el is tudjuk intézni, például ha x€{0}, akkor kész is vagyunk. Azonban úgy is el tudjuk intézni, hogy két ellentétes számot választunk, amik 0-tól különböznek, például ha x€{-2;2}, akkor a függvény értékkészlete a {4} lesz, ami egyelemű szintén. Más megoldás nincs, mivel az értékkészlet elemeihez legfeljebb 2 számot rendelünk, tehát ha az értelmezési tartománynak legalább három különböző eleme lenne, akkor azok legalább két számhoz lennének hozzárendelve (a skatulya-elv értelmében).

b) Itt is érdemes abból kiindulni, hogy ha legalább 3 elem van, például x€{1;2;3}, akkor az A(x) értékkészlete {1;4;9} lesz. Ha az értelmezési tartományt megtoldjuk a benne lévő számok ellentettjeivel, akkor az értékkészlet ugyanúgy háromelemű marad, tehát az értelmezési tartomány lehet még négy-, öt-, és hatelemű.

Általánosságban az is elmondható, hogy ha az A(x) függvény értékkészlete n-elemű (ahol n pozitív egész), akkor az értelmezési tartomány elemszáma legalább n és legfeljebb 2n.

c) Ha az értékkészlet végtelen, akkor az értelmezési tartomány elemszáma is legalább végtelen (elvégre véges elemszámot véges lépésben tudunk hozzárendelni), tehát végtelen elemszámú értelmezési tartományt kell csak megadni, azonban a végtelenek között is tudunk különbséget tenni; ha x€N, akkor az értelmezési tartomány és az értékkészlet is megszámlálhatóan végtelen számosságú lesz, ha viszont x€Q* (vagyis az irracionális számok halmaza), akkor megszámlálhatatlanul végtelent kapunk.