Igaz-e minden konvex négyszögben, hogy a 2 átló hosszának összege nagyobb a kerület felénél?

Igaz.

A bizonyítás:

Rajzold meg a négyszöget és a két átlót.

A négyszög oldalai legyenek a, b, c, d.

Az átlók metszéspontjától a csúcsokig terjedő szakaszok legyenek x, y, v, z.

Most a négy kis háromszögben igaz, hogy bármely két oldal összege nagyobb, mint a harmadik.

Ezeket felírva (esetleg más sorrendben):

x+y>a

y+v>b

v+z>c

z+x>b

ha ezeket összeadod:

2x+2y+2v+2z>a+b+c+d

elosztva 2-vel:

x+y+v+z>K/2

a bal oldali szakaszok pedig darabonként a két átlót adják ki