Differenciálszámítás - tudnátok segíteni?

Az alapséma megvan?

Az első 1-2 függvényt néztem, az még nem veszélyes.

A differenciálszámításnál nem is maga a differenciálhányados felírása a legbonyolultabb pont, hanem ami azután jön; tudnunk kell, hogy milyen algebrai átalakítások visznek minket előrébb. Ennek megfelelően első körben ezeket kellene tanulmányoznod.

Mindegyikből megcsinálod egyet. Ha utána is kérdésed van, kérdezz;

1. Itt nézzük a másodikat;

Differenciálhányados:

lim(x->-1) (gyök(1-2x) - gyök(1-2*(-1))) / (x-(-1)), vagyis

lim(x->-1) ( gyök(1-2x) - gyök(3) ) / (x+1)

Az ilyen alakú határértékeknél az volt a jó taktika, hogy a számlálót gyöktelenítettük, vagyis most bővítsük a törtet "( gyök(1-2x) + gyök(3)"-mal, ekkor ezt kapjuk:

Számláló: ( gyök(1-2x) - gyök(3) )*( gyök(1-2x) + gyök(3) ), itt tudjuk használni az (a-b)*(a+b)=a^2-b^2 azonosságot, ez alapján a zárójelbontás eredménye: gyök(1-2x)^2 - gyök(3)^2, vagyis 1-2x - 3, ami -2x-2

Nevező: itt elég csak formálisan beszorozni: (x+1)*( gyök(1-2x) + gyök(3) )

Tehát ez a törtünk:

(-2x-2) / ((x+1)*( gyök(1-2x) + gyök(3) )

A számlálóban ki tudunk emelni (-2)-t:

(-2*(x+1)) / ((x+1)*( gyök(1-2x) + gyök(3) ), itt pedig tudunk "x+1"-gyel egyszerűsíteni:

-2 / ( ( gyök(1-2x) + gyök(3))

Ez pedig már egy olyan tört, melyben x helyére vígan beírhatjuk a (-1)-et, így ezt kapjuk:

-2 / ( gyök(1-2*(-1)) + gyök(3) = -2 / ( gyök(3) + gyök(3) ) = -2/(2*gyök(3)), és itt még tudunk 2-vel egyszerűsíteni: -1/gyök(3), tehát ez lesz a differenciálhányados eredménye.

A differenciálhányados az adott pontba húzható érintő egyenes meredekségét adja meg. Ha ezt tudjuk, akkor az érintő egyenesének egyenletéhez elég nekünk csak az m*(x-x0) = y-y0 egyenes egyenletet előfennünk, ahol m az egyenes meredeksége (ami most -1/gyök(3)), x0 és y0 pedig az érintési pont első és második koordinátája, x és y pedig marad x és y.

2. Az ilyen feladatoknál a differenciálatóság feltételeit kell vizsgálni, úgy, mint:

-folytonosság, ehhez az kell, hogy a függvény értelmezve legyen az adott helyen, valamint a bal- és jobboldali határértékek megegyezzenek a felvett értékkel.

-két oldali differenciálhatóság, és hogy ezek megegyeznek-e. Ha jól emlékszem, akkor ha a függvény csak az egyik oldalról differenciálható, akkor is differenciálhatónak nevezzük az adott pontban a függvényt.

Ennél nézzük az utolsót az x=1 esetre. Először azt nézzük, hogy értelmes-e a függvény x=1-re; f(1) = 2*1-1 = 1, tehát létezik a függvényérték, tehát értelmes.

Nézzük a bal- és jobboldali határértékeket:

lim(x->1+) f(x) = lim(x->1+) 2x-1 = lim(x->1+) 2*1-1 = 1

lim(x->1-) f(x) = lim(x->1-) x^2 = lim(x->1-) f(x) 1^2 = 1

Mivel a kétoldali határérték megegyezik a felvett értékkel, ezért a függvény folytonos.

Differenciálhatóság: itt is ugyanúgy járunk el, mint az előbb, vagyis a határértéket aszerint vizsgáljuk, hogy 1+ vagy 1- van:

lim(x->1+) (f(x) - f(1))/(x-1) = lim(x->1+) (2x-1 - (2*1-1))/(x-1) =

= lim(x->1+) (2x-2)/(x-1) = lim(x->1+) (2*(x-1))/(x-1) = 2 = 2, tehát a jobboldali differenciálhányados 2.

lim(x->1-) (f(x) - f(1))/(x-1) = lim(x->1+) (x^2 - 1^2))/(x-1) =

= lim(x->1+) (x^2 - 1))/(x-1) = lim(x->1+) ((x-1) * (x+1))/(x-1) = lim(x->1+) x+1 = 1+1 = 2, tehát a baloldali differenciálhányados is 2.

Mivel ezek megegyeznek, ezért a függvény differenciálható az x=1 helyen, és a differenciálhányados értéke 2.

3. Itt nézzük a az első oszlop másodikját; először alakítsuk át geometriailag a függvényt:

köbgyök[x^2*gyök(x)] = köbgyök[x^2 * x^(1/2)] = köbgyök[x^(2+1/2)] = köbgyök[x^(5/2)] = x^(5/2 : 3) = x^5/6 = hatodikgyök(x^5)

Tehát ennek kell felírnunk az általános differenciálhányadosát:

lim(x->x0) (hatodikgyök(x^5) - hatodikgyök((x0)^5)) / (x-x0)

Ahhoz, hogy ezt gyökteleníteni tudjuk, az a^6 - b^6 képletére van szükségünk, ennek általános képlete itt megtalálható:

[link]

n=6 esetén:

a^6 - b^6 = (a-b)*(a^5 + a^4*b + a^3*b^2 + a^2*b^3 + a*b^4 + b^5), nekünk most a=hatodikgyök(x^5) és b=hatodikgyök((x0)^5), tehát ezzel bővítünk (csak győzd leírni), ekkor ezt kapjuk:

(x-x0) / [(x-x0)*(hatodikgyök(x^5)^5 + hatodikgyök(x^5)^4*hatodikgyök((x0)^5) + hatodikgyök(x^5)^3*hatodikgyök((x0)^5)^2 + hatodikgyök(x^5)^2*hatodikgyök((x0)^5)^3 + hatodikgyök(x^5)*hatodikgyök((x0)^5)^4 + hatodikgyök((x0)^5)^5)], és itt tudunk (x-x0)-lal egyszerűsíteni:

1 / [hatodikgyök(x^5)^5 + hatodikgyök(x^5)^4*hatodikgyök((x0)^5) + hatodikgyök(x^5)^3*hatodikgyök((x0)^5)^2 + hatodikgyök(x^5)^2*hatodikgyök((x0)^5)^3 + hatodikgyök(x^5)*hatodikgyök((x0)^5)^4 + hatodikgyök((x0)^5)^5]

És itt már nincs probléma azzal, hogy x helyére x0-t beírjuk, majd elvégezzük az összevonásokat. Amit kapunk, az lesz az eredmény (természetesen a kikötések mellett, vagyis x>=0, illetve az x=0 helyen kicsit problémás az eredmény, mivel az 1/0).