Mi az alábbi 3 feladat megoldása? (rendkívül hálás lennék)

Az első megoldható deriválás nélkül is; tudjuk, hogy a függvény képe egy origó középpontú, egységnyi sugarú kör "felső fele" (az x-tengely feletti része). Körhöz pedig tudunk húzni deriválás nélkül is érintőt.

De deriválással így tudunk: deriváljuk a függvényt:

f'(x) = [link]

A deriváltfüggvény azt mutatja meg, hogy az eredeti függvény érintő egyenesének mekkora a meredeksége. A meredekség az y=ax+b alakú lineáris függvényben x együtthatója, vagyis a, ezért szokták y=mx+b alakban is írni.

Először meg kell tudnunk az x+y=1 egyenletű egyenes meredekségét, ehhez y-ra rendezzük: y=-x+1, tehát ennek a meredeksége (-1). Nekünk arra van szükségünk, hogy a deriváltfüggvény helyettesítési értéke (-1) legyen, tehát egyenlővé kell tennünk (-1)-gyel:

-x/√(1-x^2) = -1, ez az egyenlet könnyen megoldható, az eredmény x=1/√2. Tehát az eredeti függvény x=1/√2 helyéhez tartozó pontján keresztül tudjuk meghúzni az x+y=1 egyenletű egyenessel párhuzamos érintőt. A függvény pontja: P( 1/√2 ; 1/√2 )

Tudjuk, hogy a függvényt y=mx+b alakban keressük, ahol tudjuk, hogy m=-1, valamint az egyenletet kielégítik a P pont koordinátái, így már csak a b-t kellene meghatározni. Ehhez írjuk be x és y helyére a koordinátákat:

1/√2 = -1*(1/√2) + b, ennek megoldása

2/√2 + = b, tehát a keresett lineáris függvény:

y = -1x + 2/√2

A 2/√2 átalakítható bővítéssel: = (2*√2)/2 = √2, tehát az egyenlet:

y = -1x + √2

Ellenőrzés WolframAlphával:

[link]

2. Ha az x-tengellyel párhuzamos, akkor az egyenes meredeksége 0. Deriváljuk a függvényt:

f'(x)= 4x^3 - 2x, ennek kell 0-nak lennie:

4x^3 - 2x = 0, kiemelünk x-et:

x*(4x^2 - 2) = 0, ennek akkor van megoldása, hogyha a szorzat valamelyik tényezője 0, így

vagy x=0, vagy

4x^2-2=0, ennek megoldása x=1/√2 és x=-1/√2

Az eredeti függvény ezen helyein lesz az érintő meredeksége 0, az érintő egyenlete: y=függvényérték.

A függvény képe: [link]

3. Az ilyen feladatokat érdemes úgy kezdeni, hogy polinomosztást végzünk:

(6x-3)/(2x-5) = (6x-3-12+12)/(2x-5) = (6x-15)/(2x-5) + 12/(2x-5) = 3 + 12/(2x-5), ezt könnyebb deriválni;

f'(x) = [link]

Most nézzük a megadott egyenes meredekségét:

-3x+8y=2, y-ra rendezzük:

y = (3/8)x + 2/8, tehát ennek a meredeksége (3/8). Erre az egyenesre merőleges érintő egyenletét keressük. Ezzel kapcsolatban azt érdemes tudni, hogy két egyenes (amik nem párhuzamosak a tengelyekkel) akkor merőlegesek egymásra, hogyha meredekségeik szorzata (-1), ennek megfelelően a keresett egyenes meredeksége (-8/3) lesz. Ahogy az előbb, az a kérdés, hogy a derivált értéke mikor lesz ennyi:

-24/(2x-5)^2 = -8/3, ennek két megoldása van: x=1 és x=4, tehát két érintő is lesz, ami megfelelő.

Innen be tudod fejezni?