Mik azok a komplex számok?

Itt egy látványos oktatóanyag:

[link]

ez talán segít a megértésében.

Matematikailag a szám az ami a számhalmaz eleme. (Tudom..., nem szórakozom, ilyen a matek) A számhalmaz pedig olyan halmaz/összesség aminek vannak bizonyos tulajdonságai, támasztott követelmények elvárások az elemeivel szemben.

Minél több a tulajdonság annál speciálisabb egy matematikai objektum. Viszont, ha meglévő tulajdonságok közül elengedünk párat, akkor a dolog egy általánosabb tágabb fogalommá/gyűjtőfogalommá válik.

A megszokott számok 0,1,1.5,-2,333...,pí,gyök2 stb - a valós számok, melyek bizonyos tulajdonságait elengedve "tágabb számfogalmat" kapunk, amibe sok minden belefér, aztán ezt más szabályokkal kiegészíthetjük, szűkítve a tág fogalmat és eljuthatunk a komplex számokig. Tehát valahogy így vannak "más számok", így szám a komplex szám a valós számokhoz hasonlóan, egy a valós számokhoz létrehozott szülő másik gyermeke.

A komplex számok jól szemléltethetőek geometriailag, összegük síkbeli vektorok (irányított szakaszok/nyilak) összege, szorzatuk a síkbeli nyújtva-forgatást szimbolizálják. Ráadásul a valós számok benne vannak a komplex számokban. Nem is akárhogy. A síkbeli dolog nem annyira véletlen, hiszen 2 koordináta azaz két valós szám le tudja írni a komplex számot, ettől "összetett", "komplex".

Tehát a komplex szám egy síkbeli koordinátarendszerben egy vektor /irányított nyíl (-ként is elképzelhető) melynek valós számmal kifejezett nemnegatív nagysága van és az x tengely mutatott irányával bezárt egyértelmű valós számmal leírt szöge van.

a+bi alakban (is) írható ami a*1 +b*i ként értelmezhető, azaz x koordinátája 'a' valós szám, y koordinátája b valós szám, csak x-et itt az *1 jelzi, y-t a *i, amit képzetes egységnek nevezünk, ami nem valós szám. Attól képzetes,hogy "kitalált","képzett","képzeletbeli" az irány amellyel "kilépünk/ki lehet lépni" a valós számok egyeneséből.

Mik a hasonló tulajdonságok a szokásos számokkal? Hát.. ugyan úgy kell összeadni és szorozni, zárójelet felbontani és i*i=-1, azaz i gyök(-1) ami valós számoknál elképzelhetetlen művelet. Csak itt nincs nagyság, kisebb, nagyobb reláció, MERT egyenesen valami előrébb volt vagy hátrébb, de síkon?...lehetne az origóhoz közelebb vagy távolabb dolgot értelmezni, de az "nem lenne művelettartó" azaz kisebb-és-nagyobb párok összeadása, összeszorzása (kisebbet kisebbel, nagyobbat nagyobbal) nem őrzi meg biztosan a relációt. De nem sírunk emiatt.

Hát még mire jó. Ha letakarjuk a képzetes részét a komplex számnak. Azaz a x tengelyre vetített "árnyékát" nézzük. Ez a kulcsválasz arra miért jelenik meg a valóságot leíró fizikában valami olyan ami "képzeletbeli". Egy fizikai változót komplex számmal leírva két dolgot történik: a fizikai valóságban csak az "árnyékát" látjuk, azaz a valós részét, de képzeletben hozzárendeltünk egy "szerkezetet", ami leírja hogy mi történik a háttérben és hogyan változik meg az "árnyék(a)" amit látunk, mint egy rejtett mechanizmus: ami "vetíti" az "árnyékot" az "elforoghat" így változtatva a nagyságot és ha még emlékszünk a forgás komplex számoknál csak egy szorzás...

Ez bizonyos matematikai eredmény miatt nyer értelmet és jelentőséget: minden periodikus függvényt leír egy specifikus periodikus függvény-család. Mi van a nem periodikusakkal? Okos a matematika, a nem periodikus függvényt végtelen periódus-hosszú periodikus függvénynek fogja fel és meg is volnánk. AZAZ bármely (valós) függvény egymásra épülő (akár, többnyire) végtelen periodikus függvények "összessége". És mi periodikus? Hát egy forgó vektor(nyil) "árnyéka".

Lehet e "komlexebb számokat" alkotni. Attól függ. Ugyan ilyet nem, egyértelműen csak egy van. 3 valóssal nem is működik, a legközelebbi a 4 db valós számmal leírt Kvaterniók. Csak ennek tulajdonságai ( a szorzás is) már nagyon eltér a valós számoktól...

Remélem inkább érdekesre sikerült, mint kimerítőre. :) 27f