"Adja meg a komplex számok halmazán az összes lehetséges megoldást." (z-2i)(z+2i)=6+2√(3)i Hogyan kellene gondolkodni, hogy megoldásra jussak?

Kibontod a zárójelet:

z^2 + 4 = 6 + 2√(3)i, kivonsz 4-et:

z^2 = 2 + 2√(3)i, gyököt vonsz:

z = √(2 + 2√(3)i)

A gyökvonást annak függvényében tudod elvégezni, hogy mit tanultál (egyenletrendszerrel, trigonometrikus alakból, exponenciális alakból).

Először felírod trigonometrikus alakban:

= 4*(cos(60°)+i*sin(60°)), majd ebből gyököt vonsz Moivre képlete szerint:

2*(cos((60°+k*360°)/2)+i*sin((60°+k*360°)/2)), ahol k=0 és 1, ezeket behelyettesítve kapjuk a két gyököt, így az eredeti egyenlet megoldásait.

Úgy lehet behelyettesíteni, hogy k helyére beírod a 0-t és az 1-et...

Ha k=0, akkor 2*(cos((60°+0*360°)/2)+i*sin((60°+0*360°)/2)) = 2*(cos(30°)+i*sin(30°)) = 2*(1/2 + i*√3/2) = 1 + √3*i

Ha k=1, akkor 2*(cos((60°+1*360°)/2)+i*sin((60°+1*360°)/2)) = 2*(cos(210°)+i*sin(210°)) = 2*(-√3/2 - i*(1/2)) = -√3 - i

Ez a két komplex szám az eredeti egyenlet két megoldása.