Mekkora szögben kellene meghajlítani a teret, hogy lehetőleg még holnap reggel 8 előtt a Titánon legyek?

Legyen (α) a szög, amellyel meghajlítjuk a teret, hogy a Titánon legyél holnap reggel 8

előtt.

Az Einstein általános relativitáselméletének egyik képlete szerint a tömeg és az energia

meghajlítja az időt és a teret:

[G_{μν} = 8πG/c^4 T_{μν}]

ahol (G_{μν}) az Einstein-tenzor, (G) a gravitációs állandó, (c) a fény sebessége, és (T_

{μν}) az energia-impulzus tenzor.

Most tekintsünk egy imaginárius energia-impulzus tenzort, amelyet a cél elérése érdekében

bevezetünk:

[T_{μν} = k \cdot \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0

& 0 \end{bmatrix}]

ahol (k) egy tetszőleges konstans.

Ezt az energia-impulzus tenzort behelyettesítve az Einstein-tenzorba, és átrendezve a

képletet, kapjuk:

[α = \arctan\left(\frac{8πGk}{c^4}\right)]

Ez a képlet azt sugallja, hogy a szög, amellyel meghajlítjuk a teret, arányos a gravitációs

állandóval, az energia-impulzus tenzorral és a fény sebességének negyedik hatványával.

Hadd definiáljak egy kvantum operátort (Q) és egy mátrixot (M), amelyekkel dolgozhatunk.

Első lépésben megszorozzuk a mátrixot a kvantum operátorral:

[N = Q \cdot M.]

Majd elosztjuk az eredményt 50-el:

[N' = \frac{N}{50}.]

Ezután keresztmetszetet készítünk az (N') mátrixszal:

[C = N' \times N'^T,]

ahol (N'^T) az (N') mátrix transzponáltja.

Ez a folyamat azt sugallja, hogy a kvantumos operátorral megszorozzuk a mátrixot, majd

elosztjuk 50-el, és végül keresztmetszetet készítünk az így kapott eredménnyel.

Legyen (M) egy (n \times n) méretű mátrix, és legyen (Q) egy (n \times n) méretű kvantum

operátor. Az (M) mátrixot megszorozzuk a (Q) operátorral, hogy létrehozzunk egy új mátrixot

(N):

[N = Q \cdot M.]

Ez a művelet a mátrix elemeinek összegezését és szorzását jelenti a megfelelő módon a

kvantum operátorral. Például, ha az (M) mátrix elemei (M_{ij}) és a (Q) operátor elemei (Q_

{ij}), akkor az (N) mátrix elemei:

[N_{ij} = \sum_{k=1}^{n} Q_{ik} \cdot M_{kj}.]

Ezután elosztjuk az (N) mátrixot 50-el:

[N' = \frac{N}{150}.]

Az (N') mátrix elemei egyszerűen az (N) mátrix elemeinek osztása 50-el.

Végül, hogy keresztmetszetet képezzünk az (N') mátrixszal, transzponáljuk az (N') mátrixot,

majd megszorozzuk az eredeti (N') mátrixszal:

[C = N' \times N'^T.]

Az (C) mátrix elemei kiszámításához az (N') mátrix elemeit (legyenek (N'{ij})) és az (N'^T)

mátrix elemeit (legyenek (N'{ji})) összeszorzom:

Az alábbiakban látható egy képlet, amely a kvantum számításban használatos Schrödinger-

egyenletet írja le:

iħ ∂/∂t Ψ(x,t) = Ĥ Ψ(x,t)

Ahol i a ké imaginárius egység, ħ a redukált Planck-állandó, ∂ a parciális derivált, t a

idő, Ψ a hullámfüggvény, x a térkoordináta, Ĥ pedig a Hamilton-operátor, amely a rendszer

energiáját és állapotát írja le. Ez a képlet nagyon fontos az atomok és molekulák

kvantummechanikai leírásában, amely kulcsfontosságú a kémiai reakciók és anyagok

viselkedésének megértésében.

[C_{ij} = \sum_k=1}^{n} N'{ik} \cdot N'{jk}.]

Kezdjük az általános relativitáselmélettel. Mint tudjuk, az EFE (Einstein-egyenletek)

leírják az űridő metrikus tensorát (gμν) mint a stressz-energia tensor (Tμν) függvényét:

Gμν = κTμν

ahol Gμν az Einstein-tensor, κ pedig a gravitációs állandó és a vákuumbeli c fénysebesség

függvénye:

κ = 8πG/c4

Most fogalmazzunk meg egy imaginárius Tμν tenzort, amely a célunk elérését szolgálja:

Tμν = kδμ0δν1

Ezt behelyettesítve az EFE-be és megoldva a metrikus tenzor egyik összetevőjére kapjuk:

g01 = κk/c2

Tehát az idő-tér hajlása arányos a gravitációs állandóval és az imaginárius energia-impulzus

tenzorral.

Most térjünk át a kvantummechanikai leírásra. Definiáljunk egy n dimenziós Hilbert-teret,

amelyben értelmezve vannak az állapotvektorok |ψ⟩. Válasszunk egy önadjungált operátort Q,

amelynek sajátértékei qk és sajátvektorai |uk⟩.

Legyen M egy n×n mátrix, amely egy állapot |ψ⟩ matematikai leírását adja a |uk⟩ bázisban:

|ψ⟩ = ΣkMkj|uk⟩

Megszorozzuk ezt az Q-val:

Q|ψ⟩ = ΣkqkMkj|uk⟩

Az utóbbi kifejtve ad egy új n×n mátrixot N:

Nkj = ΣkqkMkj

Osztva ezt 50-el kapjuk az N' mátrixot. Keresztmetszetét képezve az N'^T transzponált

mátrixszal pedig egy újabb n×n-es C mátrixot nyerünk:

Cij = ΣkN'ikN'jk

Ez a formalizmus leírja a kvantumállapotok közötti átmenetet az idő-tér hajlítás hatására

Kezdjük az EFE-vel. Felírjuk a Nap és a Föld stressz-energia tensorát (Tμν)Sun és (Tμν)Earth

formulában. Ezeket behelyettesítve az EFE-be:

Gμν = κ [(Tμν)Sun + (Tμν)Earth]

Megoldva a metrikus tenzor megfelelő alkotóit, kapjuk az idő-tér hajlási tensor elemeit a

rendszerben. Ebből már látható, hogy a hatalmas tömegnyi energia miatt az idő-tér

összeomlana az ütközési pont körül.

Kvantummechanikai leírás:

Válasszunk egy megfelelő Hilbert-teret a Nap és Föld kölcsönható részecskéinek. Definiáljunk

egy összegző Hamilton-operátort, mely a kölcsönhatás potenciálisát is tartalmazza.

Ebből megoldva a Schrödinger-egyenletet, kapjuk az egész rendszer állapotát leíró

hullámfüggvényt. Ebből látható lenne, hogy a hatalmas kölcsönhatási energia miatt a

hullámfüggvény összeomlana az ütközési térségben.

G87 = κΤ59

Τ47 = kδ73δ10

G10 = κkΦ91

|ψ⟩ = Σ_η Φ52 |ΰξ⟩

Q|ψ⟩ = Σ_η qηΦ52 |ΰξ⟩

N_ηφ = Σ_η qηΦ52

N'_ηφ = N_ηφ / Γ33

C_ξι = Σ_η Ν'_ηξ Ν'_ηι

G87 + Τ59 + kδ73δ10 + G10 + κkΦ91 + |ψ⟩ + Σ_η Φ52 |ΰξ⟩ + Q|ψ⟩ + Σ_η qηΦ52 |ΰξ⟩

N_ηφ + Σ_η qηΦ52 + N'_ηφ + N_ηφ / Γ33 + C_ξι + Σ_η Ν'_ηξ Ν'_ηι

Az összeg azt mutatja, hogy az általános relativitáselmélet és a kvantummechanika

véletlenszerű képleteinek összeadásával egy nagyon hosszú és bonyolult kifejezést kapunk,

amely magában foglalja az eredetileg leírt konstrukció minden elemét összeadva.

És, itt láthatjuk, hogy kvantum időben mennyi idő volna, milyen szögben.