Korrepetálással megérné pénzt keresni?

Első: Igen...

Számelmélet, kombinatorika, analízis témakörből tovább is...

2005-ös májusi emelt szintű érettségi 1. feladata:

Az ABC háromszög oldalegyeneseinek egyenlete:

AB: y = 0

BC: x + 10y = 20

CA: y=(1/2)x + 4

a) Számítsa ki a háromszög csúcspontjait!

b) számítsa ki a háromszög B csúcsánál lévő belső szöget!

a) Ki kell tehát számítanunk a három egyenes által meghatározott háromszög csúcspontjait, azaz a 3 egyenes 3 metszéspontját:

Először nézzük a legegyszerűbbet, a két y= mx+b alakú egyenest:

y=0 és y= (1/2)x-4

Meg kell nézni, hol lesz zérushelye a CA oldalegyenesnek, mivel az y=0 függvény az x tengelyen fekszik:

0-t pedig a CA oldalegyenes x= 8-ban vesz fel.

Ez első metszéspont tehát: A(8;0)

A másodikban az

y=0 és az x+10y=20 egyenletű egyeneseket vizsgáljuk.

Az egyenletrendszer fel sem kell állítani, a metszéspont a

B(20;0)

A harmadik C pont koordinátái pedig az

x+10y=20

y=(1/2)x-4 egyenletrendszer megoldásai:

___________

Gauss-módszerrel oldjuk meg:

Ebből meg következik, hogy x=10

10 + 10y= 20

y=1

Tehát a C pont koordinátái: (10;1)

b) Számítsa ki a B csúcsnál levő belső szöget!

A legegyszerűbb a BX egyenes iránytangensének meghatározása, mert ott a C pont.

Innen tan(*béta*)=1/10, tehát *béta*=5,7105°

2) Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak:

A: Egy 6 pontot tartalmazó teljes gráfnak 15 éle van.

az élek száma 'n' csúccsal n(n-1)/2=6*5/2=15

Igaz

B: Ha egy gráfnak páros számú éle van, akkor a pontok száma is páros.

Ez nem igaz, van pl. végtelen sok fagráf, ahol az élek száma páros és a csúcsok száma páratlan. (Mivel egy n pontú fának n-1 éle van.)

C: Ha egy 51 pontú gráfban nincs kör, akkor legfeljebb 50 éle lehet.

Igaz, ekkor pedig a gráf fa.

D: Nincs olyan hatpontú gráf, amelyben a fokszámok összege 11.

Igaz, mert a fokszámok összege mindig páros.

b) Ha egy ember, aki még soha nem hallott a gráfokról, mégis kitölti a táblázatot, mekkora a valószínűsége, hogy ebből pontosan 1 helyes?

Ha nem akarunk képlettel számolni, akkor a szorzási-szabály értelmében 16 lehetőségünk van a kitöltésre,

ergo 1/16 ennek a valószínűsége.

c) Tagja a következő mondatot:

Nincs olyan szerelem, aki el nem múlik.

Van olyan szerelem, aki el nem múlik.

d)Fogalmazzon meg olyan szöveges feladatot, ahol a megoldás (17 alatt a 2)

Hányféleképpen választhatunk ki 17 különböző színű golyóból kettőt, ha nem számít a sorrend?

3)Egy növekedő számtani sorozat első három tagjának összege 60. Az első tagot 64-gyel

növelve, a másik két tagot változatlanul hagyva, egy mértani sorozat első három

tagjához jutunk. Mennyi a két sorozat első három tagja?

FElírjuk szépen amit tudunk:

a_1+ a_1+d+ a_1+2d

3a_1+3d=60

a_1+d=20

a_1+d=a_2=20

(a_1 +64); 20; a_1 + 2d valamilyen mértani sorozat első három tagja.

(20-d+64)q=20

20q=20+d

Kifejezzük q-t:

q=(20+d)/20

Visszahelyettesítjük az első egyenletbe:

(84-d)[(20+d)/20]=400 szorzás 20-szal, 0-ra redukálás:

(84-d)(20+d)-400=0

1680+84d-20d-d^2-400=0

-d^2 +64d+1280=0

Ez pedig megoldóképlettel

d_1=-16 és d_2=80, tehát

a_1= -40;

a_2= 20;

a_3= 100

És ezzel a feladatunk véget ért.

A többit is megcsinálom neked nagyon szívesen... És időre.

Megjegyzem, nem használtam a javítókulcsot, saját fejből jött minden.

Ellenőrzést is megcsinálhatjuk:

Valóban növekvő a sorozat?

Valóban.

-60+64=4; 20; 100 valóban egy mértani sorozat első három tagja?

Valóban, q=5