Hogy működik a bitenkénti osztás?

Egyetlen egy kiút van ebből a zsákutcából, ha elfelejtjük (amit már korábban írtunk), hogy nem jó az ha megtévesztő nevet adunk valaminek. Felejtsük el az egészből a bitenkénti és az XOR szót, akkor a fenti okfejtésed alapján.

Tegyük fel, hogy a természetes számok bináris átírását a 0-2-4-8-(2^n) súlyozású bináris reprezentációval végezzük el, vizsgáljuk meg milyen eredményt adna a bitenkénti XOR ha az eredményt is a fenti súlyozás szerint értelmezzük az y=1 XOR x függvény a 0-8 intervallumon. Ennek így már van egy hangyányi értelme, mert már legalább definiáltuk, hogy mit akarunk de hangsúlyozom, még mindig csak halovány értelme van.

Azaz létre akarsz hozni egy olyan függvényt amely természetes x-ekre az 0,8 intervallumokban a következő eredményeket adja (egyébként végtelen mértékig nem értem miért pont a 0-8 intervallumon kéne vizsgálni, de legyen egyszer jó napod neked is):

x=0 y=1

x=1 y=0

x=2 y=3

x=3 y=2

x=4 y=5

x=5 y=4

x=6 y=7

x=7 y=6

x=8 y=9

Ez a függvény ha jól megnézed egészen jól leírható a következők szerint:

ha x páros akkor az eredmény x+1; ha x páratlan akkor az eredmény x-1

Ha elfelejtjük azt hogy (matematikailag) értelmezhetetlenül írtad le a kérdést /mert a függvénybe bele akarsz erőszakolni olyan számokat amik nincsenek az értelmezési tartományukban/, és az eredményből meg olyat akarsz kinyerni ami nincs az érték készletében, akkor a kérdést fel lehet tenni úgy, hogy

"a "ha x=0 akkor az eredmény 1; ha x páros akkor az eredmény x+1; ha x páratlan akkor az eredmény x-1" függvény kiterjeszthető-e negatív számokra és ha igen hogyan, illetve elvégezhető-e ennek a kiterjesztése a valós számokra. ÉS ha igen milyen módszerrel." Akkor a kérdésed értelmezhetővé válik.

De ennek már semmi de az égadta egy világon semmi köze a bitenkénti XOR-hoz. Mert már egy egészen más dologról beszélünk, egy egészen másik függvényről és egy egészen másik problémáról.

"Számokból kapok számot, és számomra van értelme. Gyönyörű fraktálfüggvényeket kapok, arról nem is beszélve, hogy mennyi gyakorlati alkalmazása van, csak úgy, mint ip címeken végzett műveletek esetében..."

És milyen számot kapsz? És honnan kerültek most elő az IP címek?

Valahol azt a fontos dolgot elfelejted, hogy a matematika értékekkel dolgozik, ami független attól, hogy hogyan írjuk fel a számot. Azaz az összeadás művelet teljesen ugyanaz lesz ha azt írom 3+5 vagy azt írom hogy III+V ami itt zsákutca, hogy a "bitenkénti XOR" eredménye és annak értelmezése legalább annyira függ attól, hogy hogyan alakítjuk át és vissza a természetes számot bitstringé. Innen kezdve nincs miről beszélni, mert elképesztő mértékig nem egzakt az amiről beszélsz. Tehát beszélsz egy olyan függvényről ami azt csinálja végy egy számot dobd be egy fekete dobozba az csinál egy bitstringet az eredményt tedd félre; végy egy másik számot dobd be a feketedobozba az csinál egy másik bitstringet az eredményt tedd félre. A két kapott és félre tett bitstringet bitenként enged össze egy XOR-on, és akár értelmes akár nem a kapott bitstring próbáld meg visszafelé átküldeni a fekete dobozon és lesz talán valami eredmény, vagy nem de azt nem tudhatjuk. Majd ezt a valamit terjesszük ki akármivé ami akár lehet fraktál is...

> hogy nézzük meg hogy néz ki az y = 1 xor x függvény

Melyik bináris reprezentáción?

> [0;8] intervallumon

Nehéz lesz, mivel még nem definiáltuk sem valós, sem racionális számok halmazán a XOR-nak nevezett műveletet. Maximum a [0;8]∩ℕ* halmazon tudjuk megnézni. Ott viszont diszkrét pontok vannak csak.

> azokat a megoldásokat fogadjuk el, amik a mintázatot megtartják

Ez mit jelent?

∀a,b∈[0;8] a XOR b = (a-8) XOR (b-8)

vagy

∀a,b∈[0;8] a XOR b = -((-a) XOR (-b))

vagy

∀a,b∈[0;8] a XOR b = (-a) XOR (-b)

Mert mindegyikben van logika. Nota bene a trigonometrikus függvényeknél mindegyikre van példa. De más függvénynél pl. nem így viselkedik, a logaritmus függvény nincs értelmezve negatív paraméterre a valós számok halmazán. A komplex számok halmazán persze igen, de ott a helyzet fordított, nem a logaritmus függvényt terjesztettük ki az amúgy már kész komplex számok halmazára, hanem a komplex számok halmazát alkottuk meg az addig nem értelmezett tartományokból (negatív szám gyöke, logaritmusa stb…). Vagy pl. az arkusz-függvényeket sem terjesztjük ki ilyen módon, mert az egész ötletszerű, spekulatív, önkényes eljárás.

Nem is ilyen megfontolás alapján terjesztünk ki egy műveletet más számhalmazra, hanem permanenciaelvek alapján. Azaz adott a művelet, amiből következnek bizonyos összefüggések. Ezeknek az összefüggéseknek kell fennállnia a kiterjesztett számhalmazon is. Az iteráció csak természetes számokig működik, ha a hatványozást negatív kitevőkre akarjuk értelmezni, akkor olyan összefüggésekből kell kiindulni, hogy:

a^b * a^c = a^(b+c)

Így nyilván:

a^0 = 1

a^1 = a

a^0 = a^(1-1) = a^1 * a^(-1)

1 = a * a^(-1)

a^(-1) = 1/a

Racionális számokra meg:

(a^b)^c = a^(b*c)

Így nyilván:

a^1 = a

a = a^1 = a^(1/2 * 2) = (a^(1/2))^2

Azaz:

(a^(1/2))^2 = a

a^(1/2) = √a

Tehát ahhoz, hogy kivezessük a XOR-nak hívott (ℕ,ℕ)→ℕ műveletet a természetes számok halmazából, ahhoz kellenének valamiféle azonosságok egy vagy több (ℝ,ℝ)→ℝ művelettel, amikből ki tudunk indulni. (Mint pl. a hatványozás esetén a permanenciaelv azért működik, mert az összeadást, illetve a szorzást értelmezni tudjuk valós számokra is.)

És vannak esetek, mikor a permanenciaelv nem tartható. Háromértékű logikára nem lehet kiterjeszteni a konjunkciót, ha a műveleti tulajdonságokat fenn akarjuk tartani. Nota bene többféle logika létezik, többféle konjunkció definícióval. A tetráció esetén maguk a műveleti tulajdonságok hiányoznak, ott nincs is triviális kiterjesztés valós számú kitevőre, maximum közelítéses módszerekkel szoktak operálni, de abból meg sokféle van, lehet lineárisan, lehet köbösen stb… Ezeknek is meg van az „intuitív” logikájuk, de mivel ez így nem egzakt, ezért nem tekintjük értelmezettnek a tetrációt valós kitevőkre. Aztán a permanenciaelv nem használható teljesen a kvaterniók esetén sem a szorzása, mert nem lehet úgy definiálni a műveletet, hogy kommutatív is legyen, asszociatív is, és disztributív is legyen az összeadásra nézve. Ott is történt egy művelet definíció, ami bizonyos szempontból hasonlít a szorzásra, de valójában szerencsésebb lett volna ennek a műveletnek egy másik nevet adni.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

> Az első alatt azt érted, hogy Y(0) = 1? Ezt miért szükséges feltétele a szuperfüggvény létének? Vagy mit jelent a(z) "ı" szimbólum?

Oké. Mi az iteráció? Ismétlés. A 3-mal való szorzás az azt jelenti, hogy háromszor adjuk össze az adott számot. És ha csak egyszer adjuk össze – azaz egyel szorzunk –, akkor tulajdonképpen nem is történik már összeadás, de még úgy érezhető, hogy a*1 = a lesz. Viszont mennyi a*0? Mit kell azalatt érteni, hogy 0 darab a-t adunk össze? Mert leírva ennyi látszik:

a*3 = a+a+a

a*2 = a+a

a*1 = a

a*0 =

És az utolsó sorban nincs semmi az egyenlőségjel után… És ez oldható fel így:

a*3 = ı+a+a+a

a*2 = ı+a+a

a*1 = ı+a

a*0 = ı

És lám, a 0-val való szorzás máris értelmet nyert. De ehhez definiálni kell, hogy:

ı = 0

Tulajdonképpen ez az ı az iterált művelet neutrális eleme.

Hatványozásnál detto:

a³ = ı*a*a*a

a² = ı*a*a

a¹ = ı*a

a⁰ = ı

Itt meg:

ı=1

De valójában nem ez az iteráció, hanem ez:

a*(n+1) = a*n + a

aⁿ⁺¹ = aⁿ * a

És ehhez kell az is, hogy:

a*0 = 0

a⁰ = 1

Az iteráció a rekurzió egyik formája, egy sorozat meghatározása rekurzív módon. Ha nincs a sorozatnak egy ismert eleme, akkor végtelen rekurziót kapunk, aminél a rekurzió szabályának sok – akár végtelen – sorozat is megfelel.

De fogalmazzuk meg kicsit máshogy. Tegyük fel, hogy valaki nem ismeri a szorzást, és az iteráció keresztül kell neki elmagyaráznod:

- Hogy kapod meg egy szám 3-szorosát?

- Hát úgy, hogy a 2-szereséhez hozzáadod még egyszer a számot.

- És hogy kapod meg a szám 2-szeresét?

- Hát úgy, hogy az 1-szereséhez hozzáadod még egyszer a számot.

- És hogy kapod meg a szám 1-szeresét?

- Hát úgy, hogy az 0-szorosához hozzáadod még egyszer a számot.

- És hogy kapod meg a szám 0-szorosát?

- Hát úgy, hogy a -1-szereséhez hozzáadod még egyszer a számot?

- És hogy kapod meg a szám -1-szeresét?

…

Nyilván ha a szorzás műveletének definíciója magában foglalja a szorzást – és az iteráció pont ezt csinálja –, akkor kell valami fix pont. És ez a fix pont:

- És hogy kapod meg a szám 0-szorosát?

- Azt 0-nak tekintem.

Pl. a p^x függvény esetén semmiféle szimmetria nincs az y tengelyre a függvény képében. Nem is ilyen megfontolások mentén terjesztettük ki a hatványozást negatív kitevőkre.

A hatványozást azért lehet kiterjeszteni negatív, meg valós számokra, mert van a természetes számokra egy összefüggésünk:

a^(b+c) = a^b * a^c

Negatív számok esetén azt lehet kijátszani, hogy:

∀n∈ℕ 0 = n + (-n)

Így:

a^0 = a^(n + (-n)) = a^n * a^(-n)

Az (a^0) értelmezhető, az (a^n) is értelmezhető, ezért tudjuk kifejezni az (a^(-n)) kifejezést:

1 = a^n * a^(-n)

Leosztva (a^n)-nel és megfordítva a két oldalt:

a^(-n) = 1 / a^n

Racionális számokra hasonlóképpen:

a^(b*c) = (a^b)^c

∀n∈ℕ 0 = (1/n) * n

Így:

a^1 = a^((1/n) * n) = (a^(1/n))^n

Megint az (a^1) és az (a^n) értelmezhető, így:

(a^(1/n))^n = a

a^(1/n) = ⁿ√a

~ ~ ~

A XOR-nak az egész számokra mi az az összefüggése, amiből ki tudnánk indulni?

a XOR (b+c) = ???

a XOR (b*c) = ???

Sőt olyan összefüggés kellene, amiből (a XOR c)-t ki tudjuk egzakt és egyértelmű módon fejezni, tehát valójában valami ilyesmi kellene:

a XOR (b+c) = f(a XOR b, a XOR c)

a XOR (b*c) = g(a XOR b, a XOR c)

És ilyen nincs, többek között azért sem, mert a bitenkénti XOR-ral kapott művelet nem az operandusok *értékéből* indul ki.

"h) a xorzás minden valóson értelmezett, de általában sehol sem folytonos - fraktálfüggvény,"

Te még mindig nem érted, hogy nincs értelmezve valós számokon? Sehol nem találtam erre semmi hivatkozást, utalást. Pedig szétnéztem elég alaposan a különböző szakirodalmakban.

Az XOR kizárólag BIT-en van értelmezve. Az összes többi inkább fantazmagória.