Ha két valószínűségi mező esetén oda-vissza léteznek olyan szürjektív mérhető függvények, hogy egy esemény mértéke azonos az inverzének mértékével, akkor van közöttük ugyan ilyen tulajdonságú bijektív mérhető függvény?

A kérdésedben említett tulajdonságokat vizsgálva, ha két valószínűségi mező, mondjuk P és Q esetén léteznek olyan szürjektív mérhető függvények, mint f: Ω → Ω' és g: Ω' → Ω, ahol Ω és Ω' a mintaterek, és P(f^(-1)(A)) = Q(A) minden A ⊆ Ω' eseményre, valamint Q(g^(-1)(B)) = P(B) minden B ⊆ Ω eseményre, akkor az adott mezők között létezik egy bijektív mérhető függvény.

Az f és g függvények szürjektívak, vagyis minden elemre van legalább egy előképe, de nem feltétlenül egyértelműen. Ha létezik egy olyan függvény, amely minden elemhez egyértelműen hozzárendel egy előképet, azaz injektív, akkor az függvény invertálható. Ha mindkét függvény invertálható, azaz van hozzájuk inverz függvény, akkor ezeket az inverz függvényeket össze tudjuk komponálni, azaz f ∘ g és g ∘ f is léteznek, és mindkettő bijektív.

Tehát ha a P és Q valószínűségi mezők között léteznek szürjektív mérhető függvények, amelyek az adott tulajdonságot kielégítik, akkor létezik közöttük olyan bijektív mérhető függvény is, amely az előzőleg említett tulajdonságokat megtartja.

Fontos megjegyezni, hogy ez az állítás általános érvényű, és bizonyos körülmények között további előfeltételeket és korlátozásokat lehet igényelni.