Megoldható-e?

Létezik analitikus megoldás. A szerkesztésből érdemes kiindulni.

1.lépés: Az 'r' belső sugárral tetszőleges középpontú kört rajzolunk.

2.lépés: Felveszünk egy Q pontot, amelynek helye egyenlőre még ismeretlen.

3.lépés: A Q pontból két kört rajzolunk 'a' és 'b' sugarakkal, ahol a és b az adott két oldal, ismert.

4.lépés: Keressük azt az egyenest, ami a 3 kört érinti.

Tehát koordinátageometriával: A harmadik oldalt egy y=m*x+B alakban keresünk egyenesként. És van 3 másik körnek az egyenlete ami adott. Tehát ez egy egyenletrendszer.

Az érintés feltétele, hogy a diszkrimináns=zérus feltétel teljesüljön. Ebből egyértelmű megoldást lehet kapni. (szimmetria persze lesz).

Tehát hogy érthetőbb legyen: Amikor a három kört érintő egyenes egyenletét keressük, az lényegében ekvivalens azzal, hogy hová helyezzük a Q pontot.

Tehát a Q pont helyét keressük, és ez koordinátageometriával kijön.

Ha a 8. ill. 10. állítás ter. képletét egyenlővé tesszük, akkor csak 1 ismeretlen van, c.

r*s = gyök(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)), itt s=(a+b+c)/2

A megoldás nem túl szép:

solve for c: r*((a+b+c)/2) = sqrt(((a+b+c)/2)*(((a+b+c)/2)-a)*(((a+b+c)/2)-b)*(((a+b+c)/2)-c))

[link]

#5 Ezen nincs mit bizonyítani, az alapelvet geometriailag látjuk, a számítás pedig algebrai egyenletrendszer megoldásában kimerül.

A leírtak alapján magad is felírhatod a (másodfokú) egyenletrendszert, és a diszkriminánsra vonatkozó mellékfeltételt.

Gyengébbek kedvéért egy kicsit részletezve a megoldást:

Legyen a beírható kör sugara R és középpontja az origó (C) ekkor egyenlete:

C: x^2+y^2=R^2

A Q pontból induló két kör egyenlete:

a: (x-u)^2+(y-v)^2=a^2

b: (x-u)^2+(y-v)^2=b^2

A harmadik oldal (c) egyenlete:

c: y_c=m_c*x+B_c.

Feltételek:

I.: Az 'a' egyenes és a 'R'sugarú kör egyenleteiből álló egyenletrendszer diszkriminánsa zérus kell legyen.

Tehát:

(1) y=m_a*x+v-m_a*u

(2) x^2+y^2=R^2.

Ebből két érintési pontot kaptok, Ea1-et és Ea2-őt, aminek a koordinátái függnek u,v-től.

A lényeg, hogy ebből fel tudjátok írni az 'a' egyenes egyenletét.

Hasonlóan a 'b' egyenes egyenlete is felírható. (II.feltétel)

Természetesen mindkettőre két megoldás lesz, de ezek egymás tükörképei lesznek.

Tehát úgy kell kombináljátok az 'a' és 'b' egyenleteit, hogy az összetartozó párok a beírható kört ellentétes oldalon érintsék.

III.feltétel. Ismert most már az 'a' és 'b' egyeneseknek az egyenlete, így az oldalak két végpontja is u és v függvényében.

A harmadik 'c' oldal ezen a két ponton megy át. Így tehát felírható a 'c' egyenlete is.

Egy feltétel kell még, hogy ez a 'c' oldal is érintse a kört, ezt megint a diszkr=0 feltétel adja. Ebből kaptok érintési pontot u,v fv.-ében.

A 'c' egyenes egyenlete természetesen határozatlan lesz, ugyanis az egész háromszög az origó körül foroghat. (Ezt úgy lehet pl. elkerülni, ha kezdetben a Q pont egyik koordinátáját önkényesen fixáljuk, ez megtehető az általánosság megszorítása nélkül).

A lényeg, hogy a harmadik oldal hosszának a számítása Pitagorasz-tételből megy. És ezekből u,v kifognak esni.

Azaz a c oldal hossza csak az a,b,R paraméterektől függenek:

c=c(a,b,R).

Tehát ha a fenti lépéseket követitek, ki kell jönnie a c oldal explicit végképletének.

Hogy ez harmadfokú lesz-e végeredményben azt nem tudom. Be kell irogatni a képleteket egy szimbolikus matematikai programcsomagba, ha valaki nem akarja kézzel. (Mert ugye egy ilyennél már elég nagy az elszámolás/elírás esélye).

Én azt hiszem, a 'márc. 19. 21:48, 21:52; 20:01, 12:34'-es válaszadó(k?) úgy szeretné megoldani a példát, hogy felveszi a beírt kört, aztán az a és b oldalak metszéspontjával addig közelít felé, még a másik végpontjaik által meghatározott szakasz nem érinti a kört. Bár ahogy ezt ő leírta, abban vannak kicsit meredek részek, például megnézném, hogy mutat olyan egyenest, ami két koncentrikus, eltérő sugarú kört érint:

> „3.lépés: A Q pontból két kört rajzolunk 'a' és 'b' sugarakkal, ahol a és b az adott két oldal, ismert.

4.lépés: Keressük azt az egyenest, ami a 3 kört érinti.” (a 21:48-as válaszból)

A számolása pedig valami ilyesmi szeretne lenni (és ha nem haragszik, én a c oldallal szemközti csúcsot fogom C-vel jelölni, nem pedig a beírt kör középpontját; a beírt kör sugarát pedig egységesen r-rel jelölöm majd, és nem váltogatom az R-rel):

Legyen a beírt kör középpontja az origóban, ekkor az egyenlete

x^2 + y^2 = r^2,

a C csúcs pedig a (Cx, 0) helyen, ahol Cx > r. Az a és b oldalegyenesek érintik a kört, a tengelymetszetes egyenletük a szimmetria miatt

x/Cx – y/Y = 1 és x/Cx + y/Y = 1,

ahol Y-t válasszuk pozitívak. A másodikból y-t kifejezve, és helyettesítve a beírt kör egyenletébe

x^2 + Y^2*(1 – x/Cx)^2 – r^2 = 0,

aminek a diszkriminánsa (mivel a és b érintik a beírt kört)

4*(Y^2/Cx)^2 – 4*(1 + (Y/Cx)^2)*(Y^2 – r^2) = 0,

Y^4/Cx^2 – Y^4/Cx^2 + (r^2/Cx^2 – 1)*Y^2 + r^2 = 0,

Y^2 = r^2*Cx^2/(Cx^2 – r^2) --> Y = ±r*Cx/gyök(Cx^2 – r^2),

annak megfelelően, hogy az a és b oldalegyenesek az x tengelyre szimmetrikusan helyezkednek el (és választhatjuk Y-t pozitívnak).

Az A csúcs b távolságra van a C-től az x/Cx + y/Y = 1 egyenesen (mert szabadon eldönthetem, hogy melyik egyenest tekintem b-nek a fenti kettő közül, illetve mert a szokásos megállapodás szerint háromszög csúcsait pozitív körüljárás szerint betűzzük; illetve emiatt az y koordinátája pozitív kell legyen). Szóval

Ax/Cx + Ay/Y = 1 --> Ax = Cx*(1 – Ay/Y),

(Ax – Cx)^2 + Ay^2 = b^2,

Cx^2*Ay^2/Y^2 + Ay^2 = (1 + Cx^2/Y^2)*Ay^2 = b^2,

Ay = b/gyök(1 + Cx^2/Y^2) = b/gyök(1 + (Cx^2 – r^2)/r^2) = r*b/Cx,

Ax = Cx – r*b/Y = Cx – b*gyök(Cx^2 – r^2)/Cx = Cx – b*gyök(1 – (r/Cx)^2).

Hasonlóan a B csúcs a távolságra van C-től, csak itt most majd By < 0 kell legyen:

Bx/Cx – By/Y = 1 --> Bx = Cx*(1 + By/Y),

(Bx – Cx)^2 + By^2 = a^2,

Cx^2*By^2/Y^2 + By^2 = (1 + Cx^2/Y^2)*By^2 = a^2,

By = –a/gyök(1 + Cx^2/Y^2) = –r*a/Cx,

Bx = Cx – r*a/Y = Cx – a*gyök(Cx^2 – r^2)/Cx = Cx – a*gyök(1 – (r/Cx)^2).

(((Ez idáig még nem is olyan ronda számolás, ezután jön az izgalmas rész, eddig eljuthatott volna a 12:34-es is.)))

És akkor már csak az kell, hogy az A és B pontokon áthaladó c egyenes mikor érinti a kört. Az irányvektora (Bx – Ax; By – Ay), tehát a normál vektora (Ay – By; Bx – Ax), így az egyenlete

(Ay – By)*x + (Bx – Ax)*y = (Ay – By)*Ax + (Bx – Ax)*Ay,

r*(a + b)*x/Cx + (b – a)*gyök(1 – (r/Cx)^2)*y =

= r*(a + b)*(1 – b*gyök(1 – (r/Cx)^2)/Cx) + r*b*(b – a)*gyök(1 – (r/Cx)^2)/Cx =

= r*(a + b – 2*a*b*gyök(1 – r^2/Cx^2)/Cx),

r*(a + b)*x/Cx + (b – a)*k*y = r*(a + b – 2*a*b*k/Cx),

ahol k = gyök(1 – (r/Cx)^2), ami talán egyszerűsít kicsit a végén. Szóval már csak az kell, hogy ez mikor érinti a kört…

x = Cx – 2*a*b*k/(a + b) – Cx/r*k*(b – a)/(a + b)*y,

Így az egyenletben (x^2 + y^2 = r^2)

a konstans tag: γ = (Cx – 2*a*b*k/(a + b))^2 – r^2,

a főegyüttható: α = (Cx/r*k*(b – a)/(a + b))^2 + 1,

a lineáris tag együtthatója: β = 2*Cx/r*k * (b–a)/(a+b) * (Cx–2*a*b*k/(a+b)),

amiből a diszkriminánsra vonatkozó egyenlet:

β^2/4 – α*γ = 0.

De a hátralevő 'piszkos munkát' az ötletgazdára bízom, hátha lesz belőle valami szép.

"Bár ahogy ezt ő leírta, abban vannak kicsit meredek részek, például megnézném, hogy mutat olyan egyenest, ami két koncentrikus, eltérő sugarú kört érint:"

Azt helytelenül írtam, elnézést. Nem a három kört kell érintenie a c oldalnak, hanem csak a beírható kört.

Viszont ez a korábbi levezetés vázlatomból is látható. Nem három kör közös érintője keresendő, hanem két parametrikus pontjával adott egyenes keresendő, amely érinti a belső kört.

Nem vitatom hogy a számítás eredményei eléggé rondák lesznek, de az elv jó. Ez tipikusan ahhoz a helyzethez közelít, amikor az ember az elméletet, a feltételeket ismeri és érti, de a számítástechnika nehézkes.

Úgy gondolom, a kérdező ezzel meg is kapta a választ, hiszen a kérdése elvi módszerre irányult, nem pedig a végképlet konkrét reprezentációjára.

Persze etttől függetlenül mondom, ha valakinek van kedve/ideje, írja be az egyenleteket valamely szimbolikus programcsomagba. Kézi számítással az ilyen csak kínlódás.