Hogyan tudom eldönteni/kiszámolni hogy egy függvény injektív szürjektív vagy mindkettő? (Lent példa)

Tudnod kellene a szavak jelentését.

Injektív: különböző elemekhez különböző elemeket rendel.

Szürjektív: a két halmaz minden eleme előáll.

Bijektív: injektív és szürjektív, azaz egy-egy értelmű leképezés.

f: lineáris függvény, szigorúan monoton csökken; ám nem a valós-valós tartományban értelmezve.

g: másodfokú függvény (itt nem a nullát kellene kizárni?).

h: a szinuszfüggvény egy periódusa.

i: négyzetgyökös függvény.

Emellett figyelni kell az értelmezési tartományt és az értékkészletet. Az első két esetben számolj ki néhány értéket, és az alapján próbálj meg indoklást találni! A második két esetben inkább a függvények tulajdonságai kerülnek előtérbe, ezt vesd össze a lehetséges képhalmazzal.

Például az i függvény injektív, ezt tanultuk a négyzetgyökfüggvényről. A 2-vel szorzás ezen nem változtat. De nem szürjektív, mivel nem áll elő a teljes képhalmaz, negatív számok nem; hiszen a gyökfüggvény sehol sem negatív, és ezen a 2-vel való szorzás nem változtat.

1-es jol irja, de csak az i-re adta meg a valaszt.

f: injektiv, mert minden termeszetes szamhoz mas egesz szamot rendel. Nem szurjektiv (tehat nem is bijektiv) mert van olyan valos szam, amit nem allit elo.

g: tedd ki a zarojeleket mert igy nem egyertelmu, ha a harom ki van zarva akkor valoszinu nem 12/x-3 hanem 12/(x-3), de lehet (x-12)/(x-3) is...

mindenesetre masodfoku fuggvenynel lehet tobb megoldas, viszont csak egesz szamokra ertelmezed, ezert ismerni kene a zarojelek helyzetet hogy eldontsuk egesz e mindket gyok valahol. Szurjektivnek nem szurjektiv, mert Z->Z nem all elo minden egesz szam, ez egyertelmu (de ha Z helyett R lenne legalabb baloldalt, akkor mar szurjektiv lenne, mivel 3-nal balrol plusz, jobbrol minusz vegtelenbe tart).

A szinuszfuggveny egy teljes ciklusa nem injektiv, mert mindket oldalrol zart az intervallum, es 0-hoz is meg 2pi-hez is 0-t rendel (meg pi-hez is szoval meg egyik vegen nyitott intervallum eseten se lenne injektiv), szurjektivnek viszont szurjektiv, mert az ertekkeszletenek valamennyi elemet eloallitja (valos szamok halmazan ertelmezzuk ugye).

i-t pedig elso mar megvalaszolta.