Milyen magasan kell egy űrhajónak a Hold fölött keringenie, hogy mindig ugyanott látszódjon a Hold egén?

Az L1 Lagrange pontban a Föld felől, az L2-ben a Hold túlfelén.

[link]

"Ez a pálya magasság lehet a Föld Hold távolság?"

Nem, mert nem a Föld kering a Hold körül, pontosabban egyik tömege sem elhanyagolható a másikhoz képest, és a Hold tengely körüli forgása a gravitációs hatások miatt szinkron, nem a távolsága miatt.

Más szavakkal: Ha a Hold kicsit közelebb vagy távolabb lenne, akkor is egy helyben lenne a Föld a Hold egén, mert előbb-utóbb akkor is szinkronizálódna a forgása a keringéshez.

Nagyon elmentek a válaszok a Lagrange pont felé, pedig elvileg jóval közelebb is lehetséges "lunastacionárius" pálya. Ugyanúgy lehet kiszámolni, mint a Föld esetében is: az űrhajóra ható centripetális erőt a tömegvonzás adja, ami r távolság esetén:

F_cp = G·(m·M)/r²

m·r·ω² = G·(m·M)/r²

r·(2π/T)² = G·M/r²

r³ = G·M·T²/(2π)

Ha pedig T éppen 1 Hold-nap (27.321 nap), akkor a Holdról egy helyen látszik az űrhajó.

Ha ez egy középiskolai feladat, akkor ennyi elég válasznak (és persze számold ki számszerűen is, kb. a Föld-Hold távolság negyede jön ki).

Ha viszont több minden is érdekel, akkor pl. ezen a linken találsz még érdekességeket:

[link]

Ott nem a fenti módon, hanem Kepler harmadik törvényével számolják ki a távolságot, de az is ugyanezt adja. Viszont a többi ottani megfontolás is izgalmas, hogy a Föld vonzása mennyire teszi instabillá az ilyen pályát. Az jött ki, hogy amit fentebb én is kiszámoltam, az csak elméleti jelentőségű, mert túl messze lenne már a pálya ahhoz, hogy stabil maradhasson. A Lagrange pontokról is azt írja ott valaki, hogy nagyon valószínű, hogy azok se stabilak.

Elrontottam a levezetés végét, lemaradt egy négyzet:

r³ = G·M·T²/(2π)²