Grafoanalitikus módszerrel vagy differenciálegyenlettel lehet megoldani az alábbi feladatot?

Differenciálegyenletekkel egy rendszer időfejlődését szoktuk keresni, tehát itt annak biztos, hogy nincs keresnivalója.

Szerintem egyszerű szélsőérték-probléma, amit differenciálSZÁMÍTÁSSAL lehet megoldani.

Az az sejtésem hogy legjobb ha állsz.

Vegyük úgy hogy egy kocka vagy.

Ha állsz egy helyben akkor a kocka felső lapjára esik csak az eső. A síkban a különböző helybeli koordináták ebből a szempontból invariánsak, tehát ha a kocka mozog az ezen nem változtat.Viszont ha mozog akkor az oldalsó lapját is éri az eső sőt minél gyorsabban mozog annál jobban. Tehát egységnyi idő alatt akkor éri kevesebb eső ha kisebb a sebessége.

Nagyon jó ez a kérdés, tetszik!

Néhány éve a discoveri tv-ben láttam a következőt: Mesterségesen esőt állítottak elő, és tesztelték azt, hogy a sebességtől függően mekkora az elázás mértéke. (ezt praktikusan a ruházat súlytöbblet mérésével lehet jellemezni).

Az jött ki eredményként, hogy nagyobb sebességnél nagyobb az elázás mértéke.

De önkényesen is felvetődik a kérdés, hogy mekkora az optimális sebesség, mert ahogy mondod, ha az eltelt idő elég nagy (tart a végtelenbe) akkor szintén nagy az elázás mértéke.

Szóval az nem kérdés, hogy ez szélsőérték-probléma. A megázás mértéke alapvetően két tényezőtől függ, az időtől, és attól, hogy milyen "erősen " csapódnak be a vízszemek a ruházatba.

Ez utóbbit sajnos nem tudom, hogy kéne számszerűsíteni, abban talán megállapodhatunk, hogy a sebességnek valamilyen függvénye, azaz f(v) alaú.

Ha az időtartam nem túl rövid, akkor a tranziensek elhagyhatók, és csak a folyamat stacioner részét tekintve az időtől való függés jó közelítéssel lineárisnak vehető (ez egy első ízben felvethető modell) azaz C*t alakú, ahol C konstans.

A megázás mértéke tehát a két alfolyamat szuperpozíciójaként írható fel:

M=f(v)+C*t.

Sejtésem, hogy az f függvény v-ben jó közelítéssel parabolikus, ez talán a gázközegben mozgó testekre közegellenállásként ható erő törvényszerűségeinek ismeretében érthető. Bár itt több dologról is meg kéne állapodni. Lamináris -e az áramlás, vagy turbulens. Ha eldöntöttük hogy melyik, akkor hogy tudjuk ezt átültetni a mi modellünkbe.

Máskülönben ha v-ben nem másodfokú f, hanem teljesen általános f: v->f(v) alakú, akkor valamely v0 körüli Taylor sorral is felírhatjuk f-et (feltéve hogy bizonyos konvergenciafeltételek teljesülnek), és a harmadrendű tagokat elhagyva

f(v)=v0+f '(v0)*v+0,5*f "(v0)*v^2

alakú Taylor-polinomhoz jutunk.

Ha ezt visszük be az M képletébe akkor az

M=v0+f '(v0)*v+0,5*f "(v0)*v^2 + C*t

összefüggés adódik a megázás mértékére.

Itt v0 praktikusan lehet az állandósult állapothoz tartozó közel konstans sebesség (vagy időátlag).

De az még mindig fennáll sajnos, hogy f-et nem ismerjük. Ha bevezetjük az A:=f '(v0) és B:=0.5*f "(v0) jelölést akkor az

M=v0+A*v+B*v^2+C*t

alakú formulára jutunk. A mozgástörvény ismeretében a v(t) kapcsolat felírható. Egyenletes mozgásra pl. t=s/v, ahol s a vizsgált útszakasz hossza, és ezzel

M=v0+A*v+B*v^2+C*s/v.

Bevezetjük a D:=C*s paramétert, így

M=v0+A*v+B*v^2+D/v

adódik. Ennek már számítható a szélsőértéke a matematikai analízis módszereivel, (egy harmadfokú algebrai egyenlet jön ki), hadd ne sértsek meg senkit azzal, hogy ezt az egyszerű függvényt deriválom.

A másik megközelítése a problémának, hogy teszünk egy feltételezést, hogy M infinitezimálisan kicsiny megváltozása vajon hogyan függ v-től, és t-től. Na ebből valóban egy differenciálegyenletet lehet levezetni.

Ha feltételezzük, hogy M alakja a fenti, abban négy ismeretlen van, ami azt jelenti, hogy egy negyedrendű (közönséges) diffegyenletet lehet levezetni.

Remélem, tudtam segíteni egy kicsit, a probléma megközelítésére vonatkozóan.

Véleményem szerint a feltételezésekből következik, hogy a kiindulási pont és a végcél között sebességtől függetlenül, az út függvényében fogod "begyűjteni" a cseppeket, és ezáltal ázni.

Tehát a sebességtől és az időtől mindössze a fentről jövő cseppekből eredő elázás fog függni.

A fentről jövő elázás mértéke a szélsőértékén (azaz a végtelen sebességen) kívül nem lehet 0 és maximumát a 0 sebességnél éri el. A mértéke az "esőn töltött időtől" azaz az út idejétől függ monoton módon.

A függvény bemeneti változója az út, a sebesség, és az idő lesz.

Ha az utat rögzítjük, és belátjuk, hogy a sebesség "nyilvánvalóan" meghatározza így időt akkor mindössze 1 változó lesz, ami a sebesség.

Mivel korábban beláttuk, hogy a sebesség és az elázás között fordított arányosság áll fenn, a függvény monoton csökken, így minimuma a jobb oldalon az értelmezési tartomány "jobb oldali/pozitív" "szélén" kell, hogy legyen.

Az értelmezési tartomány pozitív "széle" pedig az út hosszától függ, illetve attól hogy hogyan befolyásolja az út a sebesség megválasztását.

"Mivel korábban beláttuk, hogy a sebesség és az elázás között fordított arányosság áll fenn"

Szerintem ezt nem láttuk még be, de ha van erre vonatkozóan egy lehetséges modelled, azt én is örömmel fogadom.

Mellesleg ez azt is jelentené, hogyha az idő tart végtelenbe, akkor az elázás mértéke zérus.

Ez önmagában amúgy nem helytelen feltevés.

Amennyiben

diszkrét rendszerként modellezzük a folyamatot,

tekintsünk egy pontszerű testet, amely áthalad egy s névleges hosszúságú esős szakaszon.

Az esőcseppek sebességének (w) függvényében ekkor levezethető egy vh határsebesség, amely esetén a mozgó anyagi pontot nem éri vízcsepp.

Ilyen vh-ra több megoldás is születhet akkor, ha s mentén a leeső cseppek

szintén diszkréten vannak kezelve.

"Mivel korábban beláttuk, hogy a sebesség és az elázás között fordított arányosság áll fenn ...

"Szerintem ezt nem láttuk még be"

... Mellesleg ez azt is jelentené, hogyha az idő tart végtelenbe, akkor az elázás mértéke zérus.

Fordítva, végtelen, de ezt a kérdéskiírásban feltételeztük is.

"Elképzeltem azt, hogy ha egy helyben állok, akkor végtelen mennyiségű eső hullik rám ha az végtele ideig esik. Ha emberi léptékkel tekintve óriási sebességgel közlekedek a-b pontok között akkor talán nem fog rám hullni egy csepp eső sem"

"tekintsünk egy pontszerű testet, amely áthalad egy s névleges hosszúságú esős szakaszon.

Az esőcseppek sebességének (w) függvényében ekkor levezethető egy vh határsebesség, amely esetén a mozgó anyagi pontot nem éri vízcsepp."

Ha az adott eloszlása az esőcseppeknek megengedett egy olyan szakaszt, az adott időpontban ahol nem éri (amely esetben végtelen és egy min érték közötti határsebesség)

Vagy nincs ilyen, de ismerjük az esőcseppek sebességét, és helyét, de ez esetben várhatóan egy szakadozott sebességgörbe lenne az eredmény, de ezt szimulálni kellene.

"Fordítva, végtelen, de ezt a kérdéskiírásban feltételeztük is."

Ez így nem jó. Ha t tart végtelenbe, akkor a megázásra zérust kell kapni a modell szerint.

"Ha az adott eloszlása az esőcseppeknek megengedett egy olyan szakaszt, az adott időpontban ahol nem éri"

Ezt a mondatot nem igazán értem, valami kimaradt (lehet csak véletlenül)

"várhatóan egy szakadozott sebességgörbe lenne az eredmény"

Én nem látom, miért lenne "szakadozott" a görbe. A rendszer folytonos, és a jellemzők folytonosan differenciálhatónak kell lenniök.

"Ez így nem jó. Ha t tart végtelenbe, akkor a megázásra zérust kell kapni a modell szerint."

Nem, csak a felülről jövő esőcseppekre kell zérust kapni. A "szemből jövő leütközöttekre" nem.

"Ezt a mondatot nem igazán értem, valami kimaradt (lehet csak véletlenül)"

Az esőt egy időben változó mezőnek tekintettük (egyébként nem eshetne fentről).

"Én nem látom, miért lenne "szakadozott" a görbe"

Csak bizonyos sebességeknél haladhatnál át ütközés nélkül, mivel egy adott síkon haladsz, de az esőcseppekkel attól függően találkozol, hogy milyen gyorsan. Elméletben az, hogy az első méteren nem találkozol egy adott magasságból induló(mikor a mezőbe léptél az induló szó itt) cseppel az 5. méteren találkozhatsz azzal az esőcseppel ami azonos magasságban kezdett. A megoldás itt az a sebesség(ek) amik az út egyik részében sem találkoznak esőcseppel, de ez több szakadási ponttal is rendelkezik. Lényegében minden olyan sebességérték, amivel közlekedve akárhol találkozol esőcseppel szakadást jelent. Egyébként ha félreérthetően fogalmaztam volna, a lehetséges megoldások(választható sebességek) tartományában vannak szakadások.

"Nem, csak a felülről jövő esőcseppekre kell zérust kapni. A "szemből jövő leütközöttekre" nem."

Ezt elírtam, a felülről jövőkre kell végtelent kapni, és a szemből jövőkre zérust, mivel ez azt jelentené, hogy 0-hoz tartó sebességgel közlekedünk.