Indiai matekfeladat,1994-ből. Diákolimpiai feladat, ki tudja megoldani? Ne felejtsük el, hogy trükkös!

Az oldalszámok összege ugye (n*(n+1))/2 lenne, ha minden lap meglenne. Megnézed, hogy ez mikor lépi át az 15000-et, pl úgy, hogy felírsz belőle egy egyenlőséget, és az eredményt fölfelé kerekíted:

(n*(n+1))/2=15000

Felbontod a zárójelet, rendezed:

n^2+n-30000=0

n1=-173,4 -> nyilván nekünk most nem jó, mert negatív szám

n2=172,7 -> fölfelé kerekítve 173, ennyi oldalas lesz a könyv.

Az oldalszámok összege: (173*(173+1))/2 = 15051 lenne az oldalszámok összege. Vagyis a kitépett lap oldalszámainak összege 51.

Az első válaszoló azt nem vettem figyelembe, hogy több megoldása is lehet a feladatnak. Én egy kicsit máshogyan közelíteném meg a problémát;

Azt én is felhasználom, hogy az n oldalas könyvben az oldalszámok összege n*(n+1)/2. Mivel kitéptünk két számot, és így kaptunk összegnek 15000-et, ezért ennek a kifejezésnek az értéke legalább 15000, vagyis:

n*(n+1)/2 >= 15000, ennek megoldása n>=173

Most levonom azokat az oldalszámokat, amelyeket kitéptem; ha kitépek egy lapot, akkor két szomszédos számot tépek ki, ahol a kisebb a páratlan (lásd. 1-2, 3-4, 5-6, 7-8, ...). Tehát kitépem a 2k-1 és 2k számokat (k pozitív egész), ekkor ezt az egyenletet kapom:

n*(n+1)/2 -4k+1 = 15000, ezt rendezzük k-ra:

k = (-14999+n*(n+1)/2)/4

Azonban az is világos, hogy az utolsó oldalszám n, ennél a páros szám nem lehet nagyobb, vagyis 2k<=n, vagyis k<=n/2, ebbe írjuk be k "értékét", vagyis amit az előbbi egyenletből kaptunk;

(-14999+n*(n+1)/2)/4 < n/2

Ez egy másodfokú egyenletlőtlenséghez vezet, amit már meg tudunk oldani, és megoldása n<=174.

A két egyenlőtlenséget egybevetve az n=173-at és n=174-et kapjuk. Az n=173-at már kitárgyaltuk, n=174 esetén az oldalszámok összege 15225, tehát a kitépett lapok összege 225, ez a 112+113 összegből áll elő, ami viszont a felvezetés miatt nem lehetséges, tehát csak egy megoldás van.