Hogyan lehet megfogalmazni egy adott f függvény differenciálhatóságának az elégséges feltételét határértékdefiníció nélkül?

Az elégséges feltétel a függvény differenciálhatóságára valóban lehetővé teszi, hogy megfogalmazzuk anélkül, hogy közvetlenül hivatkoznánk a határérték definícióra. Az egyik ilyen feltétel az úgynevezett Lipschitz-folytonosság, amely meghatározza a függvény egyenletesen korlátos hajlammérlegét.

Azt mondjuk, hogy egy függvény, például f(x), Lipschitz-folytonos az [a, b] intervallumon, ha van egy pozitív konstans, mondjuk L, amelyre teljesül az alábbi feltétel:

|f(x) - f(y)| ≤ L|x - y|, minden x, y ∈ [a, b].

Ez azt jelenti, hogy a függvény két pont közötti értékbeli különbségek abszolút értéke mindig kisebb vagy egyenlő a pontok távolságának szorzatával és az L konstanssal szorozva. Ha egy függvényre bizonyítani lehet, hogy Lipschitz-folytonos az adott intervallumon, akkor az elégséges feltételt biztosít a differenciálhatóság számára az [a, b] intervallumon.

Fontos megjegyezni, hogy a Lipschitz-folytonosság erősebb feltétel, mint a differenciálhatóság. Tehát egy függvény, amelyre nem teljesül a Lipschitz-folytonosság, lehet, hogy differenciálható, de az elégséges feltétel alapján nem tudjuk garantálni a differenciálhatóságát. Ezért a Lipschitz-folytonosság csak elégséges feltétel, de nem szükséges feltétel a differenciálhatóságra.

Ez a módszer lehetővé teszi a differenciálhatóság elégséges feltételének megfogalmazását határérték definíció nélkül, és lehetőséget ad arra, hogy bizonyos függvényosztályokat kizárjunk, amelyekre nem teljesül a Lipschitz-folytonosság, de az adott intervallumon más módon differenciálhatók lehetnek.