A bizonyitasban az (1) és (2) esnél nem értem a végét. Skalaris szorzat?

A bekarikázott kifejezések nem az őket közvetlenül megelőző kifejezésből adódnak, hanem az első kifejezésből, triviális módon. Ezért mondja, hogy "írjuk fel kétféle alakban" a skaláris szorzatokat.

(a+b)·(a+b) = |a+b|^2 * cos(0) triviális, hiszen (a+b) és (a+b) vektorok azonosak, egymással 0 szöget zárnak be, így skaláris szorzatuk nyilvánvalóan |a+b|^2. Minden vektor önmagával vett skaláris szorzata a vektor abszolútértékének a négyzete.

Ez a kicsit bővebb lére eresztett gondolatmenet:

(a+b)·(a+b) = |a+b|^2 egyértelmű az #1-ben leírtak miatt.

(a+b)·(a+b) = |a|^2 + 2ab + |b|^2 ugyancsak igaz, hiszen tudjuk hogyan kell összegek szorzatát kifejteni.

Mivel mindkét egyenletnek ugyanaz a bal oldala, ezért a jobb oldaluk is megegyezik, azaz:

|a+b|^2 = |a|^2 + 2ab + |b|^2 <<< hívjuk ezt (1) egyenletnek

Most csináljuk meg ugyanezt (a-b)-vel:

(a-b)·(a-b) = |a-b|^2

(a-b)·(a-b) = |a|^2 - 2ab + |b|^2

Az azonos bal oldalak miatt megint felírhatjuk a jobb oldalak egyenlőségét:

|a-b|^2 = |a|^2 - 2ab + |b|^2 <<< hívjuk ezt (2) egyenletnek

Végül adjuk össze (1) és (2) egyenleteket, azaz (1 bal oldala) + (2 bal oldala) = (1 jobb oldala) + (2 jobb oldala):

|a+b|^2 + |a-b|^2 = |a|^2 + 2ab + |b|^2 + |a|^2 - 2ab + |b|^2, ami egyszerűsítés után, 2ab kiesésével:

|a+b|^2 + |a-b|^2 = 2|a|^2 + 2|b|^2