Lehetne akkora sebességgel utazni a Föld körül, hogy mindig nappal legyen?

A szükséges sebesség az Egyenlítőn a legnagyobb (kb. 1670 km/h), a sarkok felé csökken, ott persze már nullára.

Például Budapest az egyenlítőtől kb. 47 fokra van az Északi sark felé, így a "forgási kerület" ott csupán 27.331 km, vagyis ha Budapestről egy repülő az Egyenlítővel párhuzamosan nyom egy kört, neki elég 1139 km/h-val repülnie.

Felötlött bennem egy érdekes, és szerintem nehéz matematikai feladvány, most találtam ki. Mivel ez csak egy matekfeladat, legyen a nap pontszerű, ne számítson, hogy a pólusokon napéjegyenlőségkor csak a nap fele látszik ki.

Legalább mennyivel kell tudnia repülnie egy repülőnek, hogy örökké napsütésben maradjon a Földön? A taktikája, hogy a pólusokon nyaral, és napéjegyenlőségkor átrepül az egyik pólusról a másikra. Ha 12 óra alatt meg tudná tenni ezt a kb. 20000 km-t, akkor sima ügye lenne, hiszen elindul egy hosszúsági körön akkor, amikor a nap "felkel" azon a hosszúságon, végigcsapat rajta, és 12 óra alatt pont átér, mire lemenne a nap azon a hosszúságon. De végül épp eléri a pólust, ahol pedig már nem megy le a nap onnantól, mivel nyár van.

Ennél lassabban is át lehet jutni persze, ha nem egy főkörön, végig É-D irányban megy, hanem mindig kicsit nyugatra tart, és kergeti a napot. Így 12 óránál lényegesen több ideje van átjutni, hiszen a sarkok közelében nagyon könnyű a napot kergetni, az első pár óráját konstans napfelkeltében is megteheti miközben még az átellenes pólus felé is halad.

A kérdés tehát, hogy 1) mekkora az a legalacsonyabb sebesség, amivel átjuthat napsütésben, és 2) a szélességi kör függvényében milyen irányba tartson ehhez.

Csak hangosan filózom:

Szerintem a legalacsonyabb sebesség az egyenlítő kerületi sebessége. Mondjuk, hogy kényelmesen indul valaki az északi pólustól, gyalogosan. Nem kell sietnie, egy nap alatt körbe tudja sétálni a pólust, lassan ereszkedik dél felé. Ahogy egyre délebbre ér, egyre hosszabbak a szélességi körök, és az egyenlítőn kell legjobban teperni.

Minél inkább "sréhen" halad, tehát minél inkább a déli pólus felé fordul, annál hosszabb utat kell megtennie egy nap alatt.

Bár itt lehet egy csapda, mert ez féltekétől függhet, tehát hogy már rövidülnek vagy még hosszabbodnak-e a szélességi körök...

Leszimuláltam, és kereken a fele is elég hozzá.

Az embert az északi pólusból mindig abba az irányba mozgattam, amelyik irányban a legnagyobb volt a sebesség dél felé tartó komponensének és a nyugati irányú mozgásból származó "időlassulásnak" az aránya.

Ez utóbbi alatt azt kell érteni, hogy ha az ember nyugati irányú sebességkomponense mondjuk az adott szélességi körhöz tartozó forgási sebesség harmada, akkor a nap effektíven 2/3 sebességgel telik neki. (Azaz 12 óra helyett 18 óráig süt, mert emberünk megy vele).

Leszimuláltam különböző sebességekkel, és akkor tudott először napsütésben átérni, amikor az egyenlítői kerületi sebesség felével haladt. A 60. szélességi körig a napfelkeltét kergette, és elég meglepő módon kereken 2π óra telt el amíg leért oda.

Utána

csak abban az esetben tudott átérni 12 "effektív" óra alatt, azaz végig napsütésben, amikor a sebessége elérte az egyenlítői sebességet. Azaz a napot hajkurászó módszer semmivel nem jobb, mint hajnalban indulva egyenesen átvágni észak-déli irányban egy főkörön.

Bakker, véletlenül megnyomtam a válasz elküldését idő előtt. Az utolsó bekezdést felejtsük el. Szóval 2π óra alatt lement a 60. szélességi körre egyre laposabb szögben, majd onnantól egyre nagyobb szögben dél felé fordult. Az egyenlítőt 60 fokos szögben metszette át (itt emberünknek a feje fölött delelt a nap) majd a déli féltekén ugyanez pepitában: egyre laposabb szögben rásimult a déli 60. szélességi körre, majd egyre nagyobb szögben elérte a déli sarkot.

A lényeg: a sebessége kereken az egyenlítői sebesség fele volt.

Igen, valószínűleg tényleg az egyenlítő sebességének a fele, mivel az egyenlítő hosszát elég fél nap alatt megtenni, ha utána megint rövidülnek a szélességi körök, és be lehet hozni a késést a Naphoz képest.

Mondjuk, hogy csak az egyenlítőig kell eljutni déli 12 óráig.

Most "szögletesen" gondolkodom (de csak mert nem értek hozzá :))

- Ha a szélességi körökön haladok, minimális dél felé tartó komponenssel úgy, hogy mindig reggel legyen, akkor a sebességem (a spirál lejtését elhanyagolva):

2*pi*R*cos(szélesség) / 24h

(R: földsugár; szélesség: amelyik szélességi körön haladok nyugatra)

- Ha valahol hirtelen dél felé fordulok, és egyetlen hosszúsági körön reggeltől délig megyek az egyenlítőig, akkor a sebességem:

(2*pi*R*szélesség / 360) / 6h

(szélesség: ahonnan elindulok az egyenlítő felé)

- Nagyobb szélességeken (északon) a fentebbi formula ad kis sebességet, kis szélességeken pedig az alsó. Azt a szélességet keressük, ahol a két sebesség egyenlő, egyben a legkisebb, hiszen északabbra és délebbre is ennél nagyobbat kapunk.

2*pi*R*cos(szélesség) / 24h = (2*pi*R*szélesség / 360) / 6h

szélesség = ?

Ezt visszahelyettesítve elvileg kijön a legkisebb sebesség, ha el nem rontottam valamit.

---

Amúgy jó ez az "alkérdés". Valószínűleg jól jönne hozzá egy kis gömbi geometria is, de én nem vagyok jó benne.

(Kulcsszó tippek guglizóknak: rhumb line, loxodrome, spherical spiral, spherical geometry)

* "Azt a szélességet keressük, ahol a két sebesség egyenlő, egyben a legkisebb, hiszen északabbra és délebbre is ennél nagyobbat kapunk."

..Na, szóval északabbra és délebbre is az egyik sebesség biztos nagyobb lesz, mi pedig a két sebesség közül a nagyobbik minimumát keressük.

Kiszámoltam az optimális β irányszöget (ezt a linkjeid bearingnek nevezik) α szélességi fok függvényében, ahol v a repülő és az egyenlítői kerületi sebességének aránya (tehát ha 1666.6 km/h-val megyünk, akkor 1, ha 833.3-mal, akkor 1/2)

β = 0 az egyenlítővel párhuzamos nyugatra tartást jelenti, β = 90° pedig az egyenlítőre merőleges dél felé tartást.

β = acos(cos(α)/v) ha v > cos(α)

β = acos(v/cos(α)) ha v < cos(α)

Mint látható, β nulla lesz v = cos(α) esetében, azaz a repülő rásimul arra a szélességi körre, ahol a napot még éppen követni tudja a sebességével. Ezen ugye bármeddig elkörözhetne, és ha tartaná a nullát, akkor ott ragadna, de furcsamód úgy tűnik, hogy véges idő alatt konvergál a szélességi körhöz, és a megoldás másik fele bármilyen kis ε perturbáció esetén ε-tól független véges idő alatt rántja ki arról a szélességi körről az egyenlítő felé. Vannak ilyen diffegyenletek, pl y' = -√y, és a mienk is hasonló:

α' = -2πv*sin(acos(cos(α)/v)) = -2π√(v^2 - cos^2(α))

A negatív gyök megvan, a gyök alatti rész linearizálható, cos(α) = c*α, v = cos(α0) = c*α0 után c^2*(α0^2 - α^2) = c^2*(α0+α)(α0-α) azaz megvan a nullához lineárisan tartó differencia, azaz ugyanúgy véges időben kell konvergálnia mint y' = -√y-nek.

Lényeg a lényeg, ez v=1/2 esetén pontosan a helyi délig ér le az egyenlítőre, és nem létezik optimálisabb útvonal. Egy 833 km/h végsebességű repülővel örökké napsütésben lehet maradni úgy, hogy alig költesz üzemanyagra, és csak évi két napot repülsz vele :)