Egy lyukacsos gömbben milyen a gravitáció?

Feltéve, hogy maradunk a Newtoni fizikánál és a forgásszimmetrikus gömbhéjnál (avagy elhanyagolható a vastagsága a külső és a belső sugarához képest is), akkor a gömbhéjon belüli üres térrészben a Gauss-tétel alapján nulla a gravitációs tér erőssége. Nem csak középen. Tessék megnézni az elektroszatikában az analóg esetet.

Ha egy homogén tömör gömbbe teszünk egy nagy gömb alakú lyukat, akkor még egész érdekes dolgokat lehet kézzel is kiszámolni (lásd 333+ furfangos...), onnantól viszont már a numerikus számításoké a terep.

Én is megerősítem. Egy homogén gömbhéjon belül a gravitációs erők eredője nulla. (Pl. ezért is problémás az üreges föld elmélete.)

Integrálás nélkül:

Vegyünk egy nagyon vékony gömbhéjat. Egy vastagabb gömbhéj felbontható vékonyabb gömbhéjakra, mint egy hagyma.

Vegyük a következő ábrát: [link]

Itt a két egymással szemben lévő kör felülete ugye a sugár négyzetével egyenesen arányos. A tömeg meg a felülettel egyenesen arányos, így a két körlemez tömege is a sugár négyzetével arányos. Viszont a körlemez és a P pontban elhelyezett tömeg közötti gravitációs erő a sugár négyzetének reciprokával egyenesen arányos. Ha mondjuk a

r₂ = p*r₁

Akkor

A₁ = r₁²∏

A₂ = r₂²∏ = p²r²∏ = p²A₁

m₂ = p²m₁

F₁ = G*m*m₁ / r₁²

F₂ = G*m*m₂ / r₂² = G*m*p²m₁ / (p*r₁)² = G*m*p²m₁ / p²r₁²

p²-el lehet egyszerűsíteni:

F₂ = G*m*m₂ / r₂² = G*m*p²m₁ / (p*r₁)² = G*m*m₁ / r₁² = F₁

A két körlemez által kifejtett gravitációs vonzóerő ellentétes irányú, és azonos nagyságú, tehát az eredőjük nulla. Itt ugye szavakkal úgy fogalmazható meg az eredmény – kicsit ismételve magamat –, hogy p-szer távolabbi körlemez p²-szer nagyobb tömegű, viszont a gravitációs erő, amit kifejt az 1/p²-szer akkora, így ha a körlemez p-szer nagyobb távolságra van, akkor is ugyanakkora az általa kifejtett gravitációs erő nagysága.

Innen már csak el kell a gömbhéjat vágni egy P ponton átmenő síkkal. Az így kapott egyik gömbcikk közelíthető tetszőleges számú háromszögráccsal. A másik gömbcikken minden háromszögnek lesz egy párja, amelyek közelítik a teljes gömbcikk felületét.

~ ~ ~

> Plusz a linkelt "theorémát" ami Newton bácsitól eredeztethető (le is van benne írva) és senki nem igazolta, rég eldöntötte Einstein bácsi.

Einstein egyenleteiből ugyanúgy a newtoni törvényeket kapjuk. Hacsak nincs valami extra körülmény, mondjuk a gömb nagyon gyorsan forog, a P pont nagyon gyorsan halad, stb., akkor az F = G * m₂ * m₁ / r² képlet igen nagy pontossággal igaz lesz.

~ ~ ~

Az eredeti kérdéshez én is csak annyit tudok hozzátenni, hogy tudni kellene a szivacsos Föld pontos szerkezetét, meg hogy melyik pontban vizsgáljuk a gravitációt. Ha ez megvan, akkor ki lehet integrálni az eredő gravitációs erőt.

Régebben már lement ez a vita, a "megérzésem" engem is megvezetett, de tény, hogy gömbhéjon belül a G mindenhol nulla.

Lukacsos gömb?

Gyakorlatilag egy inhomogén sűrűség-eloszlásról beszélünk.

Ilyen esetben minden attól függ, hogy milyen sűrűség-különbségek mekkora térfogatokban, hol helyezkednek el.

Ezek a G-eltérések a gömbön kívül is megjelennek.

[link]

Látom közben belinkelték már a levezetést, de a konkrét témától függetlenül egyvalami azért kikívánkozik belőlem.

Amit a #9-es posztban leműveltél, nem sokban különbözik az ezoterikus kvantummisztika kedvelőinek érvelési technikájától. Vesznek egy jól csengő, ám valódi mélységében kevesek által értett fogalmat (kvantumösszefonódás, határozatlansági reláció, a te esetedben téridő görbülete) és elkezdenek belőlük "józan paraszti ésszel" következtetéseket levonni.

Te egy normális válaszoló vagy és nyilván nem direkt csináltad, valószínűleg őszintén hitted, hogy ez egy olyan eset, ahol a newtoni és az einsteini mechanika különböző eredményre vezet. De mivel az einsteinit csak megérzések szintjén tudod használni, így szövegelés és tippelgetés lett a dolog vége. Ami egy rossz szokás.

Mielőtt ágyúval lősz a verébre, gondold végig, hogy indokolt-e az ágyú a légpuska helyett. És ha meg tudtad indokolni, akkor se lőj addig, amíg nem olvastad el az ágyú használati utasítását.

Úgy vélem,azért van itt némi értelmezési probléma.

A kérdező kétségtelenül úgy fogalmazott, hogy a kérdése a gömb különféle, anyaggal való kitöltöttségének esetén a gömb különböző pontjaiban a gravitációs tér nagyságára vonatkozik. Más szóval, a tömör gömb, a gömbhéj, és a diszjunkt üregekkel rendelkező, de egyébként anyaggal kitöltött gömb belsejében hogyan alakul a gravitációs tér.

Erre vonatkozóan kaptunk néhány választ (mind a Gauss tételre hivatkozva). Ez rendjén van.

Azonban - bár lehet, hogy a kérdés erre nem vonatkozott - értelmezhető egy másik eset is. Tehát a kérdés az, a fenti esetekben mekkora gravitációs erő hat a különböző pontokba helyezett (mondjuk egységnyi) tömegpontra. Erre az értelmezésre azonban gyökeresen más válasz adandó. Itt először is le kell szögezni, hogy a héjnak van véges tömege. Ideális esetben ugye a héjvastagság nulla, a héj térfogata nulla, tehát a tömege is, de bennünket nem az az eset érdekel. Véges tömegű gömbhéj esetén azonban nyilvánvaló, hogy hogy kizárólag a gömb középpontjában hat nulla erő a tömegpontra, minden más esetben (a tömör gömbnél számítható értéktől eltérő, de nem nulla) gravitációs erő hat a tömegpontra. És ezt az erőhatást nem lehet a Gauss tétellel magyarázni, mert az másra vonatkozik.

A vastag gömbhéj belsejében is pontosan nulla a gravitáció.

Fel lehet bontani vékony gömbhéjakra, amelyek külön-külön nullát adnak, és ez összeadva is nulla.

> Itt először is le kell szögezni, hogy a héjnak van véges tömege. Ideális esetben ugye a héjvastagság nulla, a héj térfogata nulla, tehát a tömege is, de bennünket nem az az eset érdekel.

Valóban nem. De a #13 válaszomban nem nulla vastagságú és méretű háromszögekről beszélünk, hanem véges méretű és vastagságú háromszögekről. Ezekre a gondolatmenet és a számítás helyes. Tulajdonképpen a vastagsággal különösebben nem kellene foglalkozni, az „hagymásítás” nélkül is rendben van. A háromszögeknél viszont probléma, hogy a két részre vágó sík metszete kör lesz, ami nem rakható ki egyenes vonalakkal, így a felület nem rakható ki háromszögekből.

Viszont! Minél kisebb háromszögeket veszünk, annál kisebb tömegű rész marad ki a háromszögelésből. Tehát a háromszögek méretének csökkentésével egyre pontosabb képet kapunk. És mivel a háromszögek méretétől nem függ az eszmefuttatás, nagyobb, kisebb és még kisebb háromszögek esetén is ugyanaz a helyzet, amit #13-ban levezettem, csak egyre kisebb tömegű az a gömbhéjrész, ami kimarad a háromszögelésből. Ahogy a háromszög mérete a nullához konvergál, a számítás pontatlansága is.

Nota bene pont erre való az analízis. Integrálással lehet infinitezimális mennyiségekkel pontosan számolni. Ugye egy függvény alatti területet lehet közelíteni téglalapokkal. Illusztráció: [link]

A görbe közelíthető téglalapokkal. Persze úgy nem lesz pontos, mindig lesz olyan területrésze a görbe alatti területnek, ami belelóg a téglalapba, vagy kilóg belőle. De minél kisebb szélességű téglalapokkal számolunk, a ki- és belógó területrészek összege egyre kisebb lesz. Ha végtelenül kicsi – infinitezimális –, de még nem nulla szélességű téglalapokat veszünk, akkor a téglalapok területének összege és a görbe alatti terület közötti különbség is végtelenül kicsi lesz.

És igen, a #6 által linkelt oldalon szépen integrálással is leírják, hogy hogyan kell egy-egy pontra az eredő gravitációs erőt kiszámolni. Lásd: [link]