Segítenek nekem valaki a következő matematikai feladatban?

A feladat nem értelmezhető, vagy hiányos. Az (A-B) egy halmaz. Mégpedig, ha n<=k akkor üres halmaz, ha n>k akkor a {k+1,...,n} valódi halmaz. Itt egy halmazműveletről van szó, két halmaz különbsége az eredmény. Függvény nincs megadva, tehát a "hány" értelmetlen, a b) és c) kérdés pedig végképp az.

A feladat vagy matematikai zöldség, vagy kihagytál/rosszul írtál valamit.

Második; ha nem érted a jelöléseket, akkor minek írsz hülyeséget? ...

Mivel függvényről van szó, ezért A elemeit pontosan 1 elemhez rendeljük hozzá a B halmazból, viszont B elemeihez több elem is rendelhető, vagy akár egy sem. Tehát az első elemhez k különböző elem rendelhető, a másodikhoz szintén k, és így tovább, összesen így n^k-féle függvény konstruálható.

Szigorúan monoton függvény összesen (k alatt az n)-féleképpen konstruálható, méghozzá azért, mert ennyiféleképpen választható ki k számból n darab, amik egyféleképpen rendezhetőek növekvő sorrendbe. Ha pedig k<n, akkor 0-féleképpen, mivel több számot rendelünk hozzá a B halmaz elemeihez, mint ahány elem B-ben van, tehát biztosan lesz olyan, amelyikhez legalább kettőt rendelünk, az meg már nem lesz szigorúan monoton.

Monoton növekvő akkor egy sorozat (függvény) , hogyha vannak benne azonos elemek is. Azért használtam a sorozat szót, mivel gyakorlatilag most az a kérdés, hogy hányféleképpen írhatóak egymás mellé számok úgy, hogy egyik esetben sem legyen a soron következő nagyobb. Ezt aszerint fogjuk vizsgálni, hogy hányféle számot használunk:

1-féle szám esetén: (k alatt az 1)=k-féleképpen tudunk kiválasztani 1 számot (csak 1-es, csak 2-es, ..., csak k-as), ezeket 1-féleképpen tudjuk egymás mellé leírni, tehát ebben az esetben k függvényt kapunk.

2-féle szám esetén: (k alatt a 2)-féleképpen tudunk 2 számot kiválasztani. A következő lépésben azt kell megválasztanunk, hogy hányadik tagtól kezdve legyen más a szám. Értelemszerűen az első számnál ezt nem játszhatjuk el, tehát marad n-1 darab lehetőségünk annak kiválasztására, hogy melyik szám legyen más. Például ha csak 5 számot akarunk egymás mellé leírni, azok 1-esek és 2-eseket, akkor ezeket kaphatjuk: 11112, 11122, 11222, 12222, tehát eldönthettük, hogy vagy az 5., vagy a 4., vagy a 3. vagy a 2. tagtól kezdődjenek a 2-esek. Ebben az esetben tehát (k alatt a 2)*(n-1)-féle függvényt találtunk.

3-féle szám esetén: (k alatt a 3)-féleképpen választunk számot, és most kétszer kell a "törést" meghatároznunk, ez ((n-1) alatt a 2)-féleképpen tud megtörténni, tehát (k alatt a 3)*((n-1) alatt a 2)-féle függvény konstruálható.

Ennyiből már látható a minta; ha az n hosszú számsorozatunk 1<=t<=n különböző számot tartalmaz, akkor (k alatt a t)*((n-1) alatt a (t-1))-féle függvény kreálható. Ezek összege fogja kiadni az összes konstruálható függvény számát:

[link]

Ez a formula adja meg rögzített k-ra és n-re, hogy hányféle (szigorúan) monoton növő függvény konstruálható. A min(k,n) kitétel a példából mindjárt kiderül:

-Ha n>k, például n=8 és k=5, akkor ez azt jelenti, hogy 8 számot rendelünk hozzá 5 másikhoz, viszont akkor t például 7-ig nem futhat, mivel 5 számból 7 különbözőt nem tudunk kiválasztani.

-Ha n<k, például n=5 és k=8, akkor meg azért nem tudunk 5-nél több számot kiválasztani, mert összesen csak 5 hely van.

-Ha n=k, akkor meg mindegy.

Ebben a formulában a szigorúan monoton növő függvének is benne vannak, szóval ha azt akarjuk, hogy azok ne legyenek benne az összegben, akkor vagy azt csináljuk, hogy kivonjuk a számukat, tehát (k alatt az n)-et, vagy egyszerűen nem min(k,n)-ig fut t, hanem min(k,(n-1))-ig, mivel ha nem szigorúan monoton növő a függvény (vagyis mind az n szám különböző), akkor legalább 2-nek azonosnak kell lennie, tehát legfeljebb (n-1) különböző számot választhatunk ki.

Elhiszem, hogy elsőre nem érthető, szóval nyugodtan kérdezhetsz :)

#3: "...összesen így n^k-féle függvény konstruálható. "

Az k^n akart lenni.