Parciális törtekre bontáskor, ha egy másodfokú tagnak, nincs való gyöke, akkor hogyan bontom fel?

Ha jól értem, nem is x-eid vannak, hanem s-ek, és inverz Laplace-t akarsz csinálni.

Ezeket az összefüggéseket tudod használni:

ℒ(e^(at)·sin(bt)) = b / ((s-a)² + b²)

ℒ(e^(at)·cos(bt)) = (s-a) / ((s-a)² + b²)

Vagyis pl.

(s+2)/(s²+3s+4)

= (s+2)/((s+1.5)²+1.75)

= ((s+1.5) + 0.5) / ((s+1.5)²+√1.75²)

= ((s+1.5) + √1.75/(2√1.75)) / ((s+1.5)²+√1.75²)

Aminek az inverz Laplace trafója:

e^(-1.5t) · cos(√1.75 t) + 1/(2√1.75) · e^(-1.5t) · sin(√1.75 t)

... aztán a szinuszt meg koszinuszt összehozhatod egyetlen szögfüggvénybe is ezzel az azonossággal:

sin x + b·cos x = √(b²+1) · sin(x+arc tg b)

Találtam itt egy példát végigvezetve, magyarázva: (angolul van, talán nem gond)

[link]

Az 5. oldal alján van a példa, a 2. fejezet elején. De a PDF többi részét is érdemes elolvasni, jópofa dolgok vannak benne.

Felbonthatod komplex gyöktényezős alak szerint is.

Azaz x^2+3x+4=(x-p)(x-q) ahol p és q komplex konjugáltak.

Innentől már működik az hogy konst1/(x-p)+konst2/(x-q) alakba írod át.

Ezt meg baromi egyszerű lesz inverzLaplaceolni, mert e^(i*valami) -k jönnek ki. Azt meg ugye tudjuk, hogy e^ix=cosx+isinx, így ugyanaz jön majd ki, mint bongolo módszerével.

Hogy a két módszer közül melyik az egyszerűbb, feladattól függ, és általában nem is lehet előre látni.

Általában bongolo módszerét szokták tanítani.