Div (rotv) = 0 miért igaz?

A lusta gyerek meg úgy csinálja, hogy a divergenciát és rotációt először is a nablás alakjával írja fel:

div v = nabla · v

rot v = nabla × v

div rot v = nabla · (nabla × v)

Majd ártatlan bociszemekkel a nablát közönséges vektornak tekintve azt mondja: a·(a×v)=0 nyilvánvaló, hiszen a×v egy a-ra merőleges vektort csinál, aminek az a-val vett skalárszorzata emiatt nulla. De ez inkább csak szemléletes jópofáskodás, a nabla nem közönséges vektor hanem vektoroperátor, a merőlegesség fogalma tehát ilyen "paraszt" módon nem értelmezhető rá... de a megoldásra azért rávezet.

Először is, Div (rot(V)) = 0 csak akkor igaz ha az a vektortér amire vonatkoztatjuk forrás és nyelő mentes. Ezt a kritériumot szokták megadni a gépészek áramlástanban az áramlások forrás és nyelőmentességi kritériumának.

Ez a gyakorlatban példáult NEM igaz akkor, ha a tér forrást/nyelőt tartalmaz, ami például az áramlásban mólszám változással járó kémiai reakciót jelent. (az amónia szintézis esetén nyelő például.

Tehát a rövid válasz:

Div(rot(v))=0 állítás vizsgálata akkor és csak akkor igaz, ha a tér amire vonatkozik forrás és nyelő mentes.

kedves #5!

Ha egy v vektrotérre igaz, hogy rot (v) # 0 és div (V) #0,

akkor div (rot(V)) miért lenne nulla?

(rot \vec{v})_i=\epsilon_{ijk}\partial_j v_k

div (rot \vec{v}))=\partial_i(\epsilon_{ijk}\partial_j v_k)=

=\epsilon_{ijk}\partial_i\partial_j v_k

[link]

Utóbbiban vedd észre, hogy \partial_i\partial_j v_k mindkét előjellel szerepel, mivel \partial_1\partial_2v_3=\partial_2\partial_1v_3, de az előjelük, mivel egymás permutáltjai, ellenkezőek, így az összegük nulla. QED

#6 :

Azonosságoknak hívjuk ezeket. Valami egyenlet, amely teljesül minden bemenő paraméterre.

Pl: (a+b)^2 - a^2 - b^2 -2ab = 0

Tetszőleges a,b valós számok esetén is igaz, akkor is, ha sem az 'a', sem a 'b' nem nulla.

Durva.

Kedves dq!

Megvilágosodtam, igaad van. sajnos öregszem.,

Köszönöm!